uzluga.ru
добавить свой файл
1


Сфера и шар


Слово «сфера» произошло от греческого слова «сфайра», которое переводится  

  • Слово «сфера» произошло от греческого слова «сфайра», которое переводится  

  • на  русский язык как «мяч».



  • ШАР-символ будущего.



  • Символ шара-глобальность шара Земли. Символ будущего, он отличается от креста тем, что последний олицетворяет собой страдание и человеческую смерть.

  • В Древнем Египте впервые пришли к заключению, что земля шарообразна. Это предположение послужило основой для многочисленных размышлений о бессмертии земли и возможности бессмертия населяющих ее живых организмах.





  • Таким образом, шар и глобус — это знаки промысла, проведения, вечности, власти и могущество коронованных особ



Каменное полушарие сферы воплощается в религиозных храмах - куполах православных церквей в России; ступах, связанных с местом пребывания бодхисаттв в Индии. В Индонезии ступы приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы.

  • Каменное полушарие сферы воплощается в религиозных храмах - куполах православных церквей в России; ступах, связанных с местом пребывания бодхисаттв в Индии. В Индонезии ступы приобрели форму колокола с каменным шпилем наверху и называются дагобы.



В греко-римской мифологии  шар 

  • В греко-римской мифологии  шар 

  • символизировал удачу, судьбу, ассоциируясь с Тихэ (Фортуной), стоящей на  шаре . Знаменитая картина Пикассо «Девочка на шаре» - танцующая Фортуна.



Форма шара в природе

  • Многие ягоды имеют форму шара.



Планеты имеют форму шара.



Некоторые деревья имеют сферическую форму.



Определение сферы



Сфера –это поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг диаметра

  • Сфера –это поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг диаметра



Данная точка (О) называется центром сферы.

  • Данная точка (О) называется центром сферы.

  • Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы (R-радиус сферы).

  • Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что диаметр сферы равен 2R.



Определение шара

  • Шар – это тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки (или фигура, ограниченная сферой).

  • Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

  • Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.









Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью.

  • Плоскость,проходящая через центр шара,называется диаметральной плоскостью.

  • Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом,а сечение сферы - большой окружностью.



Закрепляем

  • Решите задачу № 573, №574 (а)



Уравнение сферы в прямоугольной системе координат

  • M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере.

  • /MC/= √(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2

  • т.к. MC=R, то

  • (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2



Задание

  • 1.Найдите координаты центра и радиуса сферы, заданной уравнением:

  • x²+y²+z²=49

  • (X-3)²+(y+2)²+z²=2

  • 2. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром А, если

  • A(2;-4;7) R=3

  • A(0;0;0) R=√2

  • A(2;0;0) R=4

  • 3. Решите задачу №577(а)



Взаимное расположение сферы и плоскости

  • Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости α-буквой d.

  • Введем систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью α, а центр С сферы лежал на положительной полуоси Oz.



В этой системе координат точка C (о;о;d),

  • В этой системе координат точка C (о;о;d),

  • поэтому сфера имеет уравнение

  • x2+y2+(z-d)2=R²

  • Плоскость совпадает с координатной плоскостью Oxy, и поэтому ее уравнение имеет вид z=0



Таким образом вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений.

  • Таким образом вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравнений.

  • Подставив z=0 во второе уравнение, получим x²+y²=R²-d²

  • Возможны 3 случая:



x²+y²=R²-d²

  • x²+y²=R²-d²

  • Если d>R, то сфера и плоскость не имеют общих точек.



x²+y²=R²-d²

  • x²+y²=R²-d²

  • Если d=R, то сфера и плоскость именуют только одну общую точку. В этом случае α называют касательной плоскостью к сфере



x²+y²=R²-d²

  • x²+y²=R²-d²

  • Если dпроходит через центр шара, то в сечении получается круг радиуса R.

  • Такой круг называется большим кругом шара.



Закрепляем

  • Решите задачу №580, №581



Касательная плоскость к сфере

  • Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере,

  • а их общая точка называется точкой касания А плоскости и сферы.



Теорема: Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

  • Доказательство:

  • Рассмотрим плоскость α, касающуюся сферы с центром О в точке А. Докажем, что ОА перпендикулярен α.

  • Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости α, и, следовательно расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Это противоречит тому, что-касательная, т.е. сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

  • Полученное противоречие доказывает, что ОА перпендикулярен α.



  • Обратная теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.



Закрепляем

  • Решите задачу № 592



Площадь сферы



Задание: Площадь сечения сферы, проходящего через её центр, равна 9м2. Найдите площадь сферы.