uzluga.ru
добавить свой файл
1


СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ

  • Работу выполнили ученики 11 класса


  • Два одинаковых шара радиуса R касаются друг друга и граней двугранного угла, величина которого равна . Найти радиус меньшего из двух шаров, касающихся граней двугранного угла и обоих данных шаров



Дано Найти

  • Радиус r



Решение

  • О1, О2, О3 принадлежат биссектральной плоскости L.

  • Треугольник О1О2О3 – равнобедренный.

  • О1О2 =2R; О1О3= О2О3 =(R+r).

  • О1О2 ||MN

  • О3 BMN

  • Спроектируем точки О3 и В на одну из граней двугранного угла(например, Р), получим точки D и E.







Условие:

  • Условие:

  • Шар вписан в конус, высота которого равна 4, а радиус основания равен 3. Среди цилиндров, вписанных в этот шар, найти тот, который имеет наибольшую боковую поверхность.

  • Дано:

  • конус

  • вписанный шар

  • в шар вписаны цилиндры

  • h=4, r=3

  • Найти: цилиндр с Sбок наиб.



Решение:

  • Решение:

  • 1.SD - высота конуса

  • AD=DB=3

  • 2.Площадь треугольника ASB:

  • S= (DS*AB)/2

  • S= 0,5r(AB+AS+SB)

  • Т.к. DS=4, AB=6,

  • AS=SB= =5

  • (DS*AB)/2= 0,5r(AB+AS+SB)

  • 12=8r; r=1,5

  • 3. Пусть радиус цилиндра х, тогда в окружность вписан прямоугольник MNPK, основание=2х,диагональ=2r. Боковая сторона равна

  • h=



  • S1= отсюда

  • S1=

  • При х = функция принимает наибольшее

  • значение и оно

  • равно S=2Пr2 , h=

  • Ответ: диаметр основания искомого цилиндра равен его высоте

  • а боковая поверхность равна







В прямой круговой цилиндр, радиус основания которого равен R, помещены три шара. Первый шар радиуса R, лежит на нижнем основании цилиндра. Два других, радиуса каждого из которых R/2, касаются друг друга, каждый из них касается первого шара и верхнего основания цилиндра. Найти высоту цилиндра.



Дано: цилиндр, R-радиус, R/2-радиус шаров. Найти: LM-?

  • R1=R;

  • O1,O2  A;

  • A||ß;

  • K-точка касания;

  • PS=2R;

  • K  LM;

  • Рассмотрим осевое сечение цилиндра

  • O1O2=R+R/2=3R/2;

  • LM-ось цилиндра;

  • LM=LK+KO1+O1M;

  • LK=R/2;

  • O1M=R;

  • O2K=R/2;

  • KO1=



Три одинаковых шара радиуса R касаются некоторой плоскости и друг друга внешним образом. Четвертый шар касается каждого из трех данных шаров и той же плоскости. Найти его радиус.

  • Рассмотрим О1О2О3О4-

  • -(правильная пирамида) :

  • О1О3=О1О2=О2О3=2R ,

  • О1О4=О2О4=О3О4=R+x ;

  • 2)p(О1О2О3;Р)=R h=R-x ;

  • 3)

  • Х=R/3



Даны два шара разных радиусов, качающихся сторон двугранного угла. Вывести формулу взаимосвязи радиусов шаров, вписанных в двугранный угол.





На плоскости Р лежат три равных шара радиуса R, касающиеся друг друга. Прямой круговой конус расположен так, что его плоскость основания совпадает с Р, а данные шары касаются конуса и лежат вне его. Найти радиус основания конуса, если его высота задана и равна qR.



Решение:



Три одинаковых шара радиуса R попарно касаются друг друга и некоторой плоскости внешним образом. Четвёртый шар радиуса R лежит с той же стороны плоскости, что и первые три шара, и касаются каждого из них. Найти расстояние от точки четвёртого шара, максимально удалённой от плоскости, до этой плоскости.

  • Дано:

  • Три шара радиуса R касаются друг друга и некоторой плоскости

  • Четвёртый шар радиусом R касается каждого из них

  • Найти: расстояние от точки четвёртого шара, максимально удалённой от плоскости, до этой плоскости



Решение:

  • О1М

  • О1Н

  • О4Н



  • Дано:

  • R-радиус шара, (α;β)=30º, (α∩β)=LM,  (LM,a)=45º.

  • Найти: Х









Дан прямой круговой конус, у которого угол между образующей

  • Дан прямой круговой конус, у которого угол между образующей

  • конуса и основанием равен 45°. В этом конусе расположены два

  • шара единичного радиуса, касающихся основания конуса в

  • точках, симметричных относительно центра основания. Каждый из

  • шаров касается боковой поверхности конуса и другого шара.

  • Найти объем конуса.



Решение.

  • Решение.



Дано:



Рассмотрим О1О2О3О4:

  • Рассмотрим О1О2О3О4:

  • О1О2=2r=О2О3 =О3О4

  • О1О2О3О4- правильный тетраэдр

  • Его центр делит высоту в отношении 3:1

  • Высота тетраэдра



О1М

  • О1М

  • О1Н

  • О4Н

  • R = 3/4 h

  • R= r+3/4h = r(1+ )



Задача. Внутри прямого кругового конуса расположены четыре шара одинакового радиуса R, попарно касающиеся друг друга внешним образом, причем три из них лежат на основании конуса и касаются его боковой поверхности, а четвертый – только боковой поверхности конуса. Найти высоту конуса.

  • Дано:

  • прямой круговой конус;

  • шар(О1, R), шар(О2, R),

  • шар(О3, R), шар(О4, R)

  • Найти:

  • высоту конуса СЕ



Решение:

  • Решение:

  • 1) О1О2О3О4- правильный тетраэдр,

  • т.к. О1О4=О2О4=О3О4=2R. О4D – высота тетраэдра, причем О4D принадлежит СЕ.

  • 2) Рассмотрим сечение плоскостью (АСВ),

  • изображенное на рисунке.

  • О4N=O1M=R (точки N и M принадлежат АС)

  • О1О4 || NM => O1O4||AC .

  • СЕ=СО4+О4D+DЕ.

  • 3) О1D= 2R /3.

  • 4) Рассмотрим СО4N:

  • СО4=R/sina, где a=АСЕ – угол при

  • вершине конуса. a=АСЕ=О1О4D =>

  • sina=О1D/O1O4=

  • = =>

  • CO4= .

  • Рассмотрим О1О4D:O4D= -

  • по теореме Пифагора. DE=R =>

  • CE= .









Решение:

  • Решение:

  • т.О1, т.О2, т.О3 (центры меньших шаров) находятся в плоскости (|| α, α – плоскость основания цилиндра)

  • т. О4 (центр 4ого шара) проецируется в т.О (т.О – центр сечения цилиндра плоскостью ∏)

  • r1=r2=r3=r

  • R4=Rосн=R

  • Н – высота цилиндра

  • Н=r+R+OO4

  • Рассм. пирамиду О1О2О3О4





Пирамида правильная, О1О2=О2О3=О1О3 =2r

  • Пирамида правильная, О1О2=О2О3=О1О3 =2r

  • О1О4=О2О4=О3О4=(r+R)

  • т.О – основание высоты пирамиды лежит в центре треуг.О1О2О3

  • ОО1= O1M=

  • R=OО1+r= r

  • Рассм. прямоугольный треугольник ОО1О4:

  • ОО4= r

  • H= r(3+ +