uzluga.ru
добавить свой файл
1


  • Связь дифференцируемости функции с непрерывностью


Цель урока

  • Установить, является ли дифференцируемая в точке функция непрерывной в точке?

  • и наоборот - является ли непрерывная функция в точке дифференцируемой в точке?

  • То есть, как связаны дифференцируемость функции с непрерывностью и каково условие непрерывности функции?



Вспомните:



Как по графику функции сделать вывод о дифференцируемости функции в точке?

  • Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема.

  • Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция недифференцируема



Функция y= f(x) непрерывна в точке x=a, если lim f (x) = f (a) x→ a

  • x→ a, x-a →0, т.е. ∆x →0,то

  • f (x) → f (a), f (x) - f (a) →0, т.е. ∆f →0



Связь непрерывности функции с дифференцируемостью

  • Если y= f(x) дифференцируема в точке х, т.е. имеет производную в данной точке, тогда это означает, что к графику функции в точке М(х,f(x)) можно провести касательную, причем К кас = f '(x), т.е.lim ∆f/∆x= f '(x),т.е.

  • ∆x→0

  • ∆f/∆x≈ f '(x), ∆f≈ f '(x) ∆x, при ∆x →0, то ∆f →0, т.е. это и есть условие непрерывности



Теорема (условие непрерывности функции в точке) Если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

  • Обратная теорема- неверна. Если функция непрерывна в точке, то она не является дифференцируемой в точке.

  • Примеры



• Функция дифференцируема на

  • • Функция дифференцируема на

  • • Функция не дифференцируема в точках х =

  • Функция непрерывна на

  • В точке х=

  • не является непрерывной



Итог урока

  • Какую функцию называют дифференцируемой в точке?

  • Какую функцию называют непрерывной в точке?

  • Как по графику функции сделать вывод о дифференцируемости функции в точке?

  • Если функция дифференцируема в точке, является ли она непрерывной в точке?

  • Если функция непрерывна в точке, является ли она дифференцируемой в точке? Пример.

  • Итак, каково условие непрерывности функции в точке?