uzluga.ru
добавить свой файл


ШАЛАЕВ Ю.Н. доцент каф. ИПС, АВТФ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И СЛУЧАНЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Лекции- 26 часов

Практические занятия- 26 часов

Экзамен, зачет.

Литература

  • 1 .Гмурман В.Е. Курс теории вероятностей. М.: В.Ш. 1977,1999.

  • 2. Вентцель Е. С. Теория вероятностей М.: Наука, 1979,2000.

  • 3. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.:1987.

  • Свешников А.А. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. М.: Наука, 1965.



Пространство элементарных событий Ω

  • Пространством элементарных событий Ω называется множество элементарных событий ωi , удовлетворяющих данному эксперименту: Ω={ω1 , ω2, …, ωn }.



Случайные события

  • Случайным событием или просто событием называется подмножество А множества Ω: A  Ω. А={ω1, ω2,…,ωm}, где m-число элементарных событий случайного события А.

  • Для дискретного Ω число случайных событий N=2n.



Действия над событиями

  • AB - объединение множеств (событий)

  • AB – пересечение множеств (событий)

  • Ā= Ω – А –противоположное событие

  • AB=Ø – несовместные события



Комбинаторика

  • Основное правило комбинаторики: пусть требуется совершить одно за другим К действий и первое действие можно осуществить n1 способами, второе n2 и так до К действия, которое можно осуществить nk способами, то все К действий можно осуществить

N=n1·n2···nk

способами.

Сочетания:

  • Сочетания:

  • Перестановки:

  • Размещения:

  • Комбинации с возвращением:



Вероятность

  • Аксиоматическое определение вероятности: Вероятность на пространстве элементарных событий Ω называется функция Р(А), обладающая свойствами: Р(Ω)=1; 0Р(А)1; Р(АВ)=Р(А)+Р(В), АВ=Ø



Классическая вероятность: Р(А)=m/n, n-число элементарных событий для Ω; m-число элементарных событий для А.

  • Классическая вероятность: Р(А)=m/n, n-число элементарных событий для Ω; m-число элементарных событий для А.

  • Геометрическая вероятность: Р(А)=LA/LΩ; Р(А)=SA/SΩ; Р(А)=VA/VΩ, где L-длина, S-площадь, V-объем.

  • Статистическая вероятность:

Р(А)=limnA/n. n-∞

Вероятность суммы

вероятность суммы для совместных событий А и В определяется по соотношению

Р(А U В) = Р(А) + Р(В) – Р(А ∩ В);

Вероятность противоположного события

Р(Ā)=1-Р(А)

Условная вероятность

  • Условная вероятность для зависимых событий определяется по соотношению

Р(А/В) = Р(А ∩ В) / Р(В).
  • События А и В независимы, если условная вероятность равна своей безусловной вероятности

Р(А/В) = Р(А);

Вероятность произведения

  • Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло: Р(АВ)=Р(А)·Р(В/А);

  • Для трех событий:

Р(АВС)=Р(А)·Р(В/А)·Р(С/АВ);
  • для независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей Р(А ∩ В) = Р(А) Р(В);

  • Вероятность произведения коммутативна:

Р(АВ)=Р(А)·Р(В/А);

Р(АВ)=Р(В)·Р(А/В).



Формула полной вероятности

А-произвольное событие;

События Н1, Н2,…Нn попарно несовместны, называются гипотезами и образуют полную группу событий, при этом Р(Нi)>0,

Формула Байеса



Испытания Бернулли

  • Производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых с постоянной вероятностью Р происходит событие А (успех) и событие Ā с вероятностью q=1-p. Необходимо определить вероятность появления события А в этой в этой серии ровно m раз:



Случайная величина

Случайная величина ξ это действительная функция ξ= ξ (ω), ωΩ, определенная на пространстве элементарных событий.

Т.е. случайная величина-это функция; аргумент у которой, элементарное событие; значение-число.

Случайные события (А,В,…) качественные характеристики случайных явлений. Случайная величина дает количественную характеристику явлений.

Случайная величина дискретного типа

  • Закон задается в виде ряда распределения-это совокупность пар чисел (xk,Pk), где xk-значения, которые принимает случайная величина ξ= xk; Pk-вероятность, которую принимает это значение xk: Pk=P(ξ= xk)>0:



Функция распределения

  • F(x)=P(ξ

  • Это вероятность того, что случайная величина принимает значение расположенное левее точки х.

  • Функция распределения неслучайная функция; аргумент-вещественное х; значение-число.



Свойства функции распределения

  • F(-∞)=0; F(∞)=1;

  • F(x)-неубывающая функция; х1<х2, F(x1)F(x2)

  • F(x)-непрерывная функция; limF(x)=F(x0); x→x0-0;

  • Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал [а,в) равно приращению функции распределения на этом интервале:

P(аξ<в)= F(в) – F(а)

Случайная величина непрерывного типа

  • f(x) – плотность распределения вероятностей случайной величины ξ.



Плотность вероятностей

Плотность распределения вероятностей случайной величины ξ, называется предел отклонения вероятности попадания ξ на малый интервал к

длине этого интервала:

Если этот предел существует, то он равен производной

от функции распределения

Свойства плотности вероятностей

  • График плотности вероятностей f(x) – кривая распределения вероятностей;

  • Плотность вероятностей неотрицательная функция: f(x)  0;

  • Плотность вероятностей нормирована на единицу:

  • Вероятность попадания на интервал [а,в):



Числовые характеристики случайных величин

  • Математическое ожидание – это число, которое характеризует среднее значение случайной величины: для дискретной ξ

  • Для непрерывной ξ:



Свойства математического ожилания

1 Математическое ожидание постоянной величины С равно

самой постоянной величине: МС=С;

2 Постоянную величину можно выносить за оператор

математического ожидания: МСξ=СМξ;

3 Математическое ожидание суммы случайных величин

равно сумме математических ожиданий этих величин:

М(ξ + η)=Мξ + Мη :

4 Математическое ожидание произведения независимых случайных

величин равно произведению математическое ожиданий

этих величин: Мξη=Мξ*Мη.

Дисперсия случайной величины

Дисперсией случайной величины ξ называется число

Dξ=М(ξ – Мξ)2,

Которое является мерой рассеяния случайной значений

величины около ее математического ожидания.

После преобразования правой части получим второе

соотношение для дисперсии:

Dξ=Mξ2 – (Mξ)2.



  • Для дискретной ξ:

  • Для непрерывной ξ:



Свойства дисперсии

1 Дисперсия положительная величина Dξ0;

2 Дисперсия постоянной величины равна нулю: DC=0;

3 Константу можно выносить за оператор дисперсии в

квадрате

DCξ=C2Dξ;

4 Дисперсия суммы и разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин :

D(ξ+η)=Dξ+Dη;

D(ξ-η)=Dξ+Dη;

5 Среднее квадратическое отклонение:

6 Дисперсия показывает средний квадрат разброса случайной величины относительно центра (математического ожидания).



Моменты

  • Начальный момент К порядка:

k=Mξk, 1=Mξ; Для дискретной ξ:

Для непрерывной ξ:



  • Центральный момент К порядка:

μк=М(ξ-Мξ)к, μ1=0, μ2=Dξ;

Для дискретной ξ: Для непрерывной ξ:

Квантиль

  • Квантиль порядка Р для распределения F(x) называется значение εР для которого F(εР )=P.



Типовые законы распределения случайных величин

  • Биномиальный закон: Проводится серия из “n”однородных и независимых опытов. А – событие успеха, которое может появится в опыте. Случайная величина ξ – число успехов появления события А в серии из “n” опытов. ξ – дискретная случайная величина и ее значения целые числа:

ξ=k; k=0,1,2,…, “n” .

  • Целочисленная случайная величина ξ подчинена биномиальному закону, если вероятности ряда распределения вычисляются по формуле Бернулли: Математическое ожидание: Мξ=np;

Дисперсия: D ξ=npq.

Закон Пуассона

  • ξ – дискретная случайная величина, которая принимает целые неотрицательные значения: k=0,1,2,…,k,…, последовательность этих значений не ограничена n→∞, p→0 так, что np=const. Случайная величина ξ подчинена закону Пуассона, если вероятности ряда распределения вычисляются по формуле Пуассона :

  • Математическое ожидание Mξ=a;

Дисперсия Dξ=a.

Равномерное распределение

  • Непрерывная случайная величина ξ распределена по равномерному закону, если плотность распределения имеет вид: Равномерное распределение применяется при определении ошибок вычислений (измерений). Датчик случайных чисел в ЭВМ.



Функция распределения

  • Математическое ожидание: Мξ=(в+а)/2; Дисперсия: Dξ=(b-a)2/12.



Закон экспоненциального распределения

  • Непрерывная случайная величина ξ распределена по экспоненциальному закону, если плотность вероятностей задана формулой: Применяется при расчете надежности различных технических систем.



Функция распределения

Математическое ожидание: Мξ=1/λ; Дисперсия: Dξ=1/λ2.

Закон нормального распределения (закон Гаусса)

  • Плотность вероятностей:

  • Функция распределения: Математическое ожидание: Мξ=а; Дисперсия: Dξ=σ2.



Интеграл вероятностей

Интеграл вероятностей есть функция распределения Гауссовской случайной величины Z:

MZ=0; DZ=1; F(-∞)=0; F(0)=0.5; F(∞)=1; F(-z)=1 – F(z)

Локальная теорема Муавра-Лапласа

При неограниченном увеличении числа испытаний “n” формула Бернулли сводится к формуле Гаусса:

Формула справедлива для всех 0<р<1 и 0kn.



Интегральная теорема Муавра-Лапласа

При неограниченном увеличении числа испытаний “n” вероятность попадания случайной на заданный интервал (a,b] равна где F(z) – интеграл вероятностей.

Системы случайных величин

Совокупность нескольких случайных величин, рассматриваемых совместно называется системой случайных величин: {ξ1 ,ξ 2 ,ξ 3, ξn}. Система двух случайных величин {ξ,η} изображается на плоскости в виде вектора; каждой точки соответствует единственный вектор

Законы распределения системы

Таблица распределения является формой записи закона распределения системы дискретной случайной величины:

Pij=P(ξ=xi, η=yj);

Функция распределения системы

F(x,y)=P(ξДля непрерывной системы случайных величин: f(x,y) – плотность распределения системы случайных величин.

Плотность системы случайных величин

Свойства плотности вероятностей системы

1 Плотность системы неотрицательная функция f(x,y)0; 2 Плотность системы нормирована на единицу:

  • Вероятность попадания системы в область D:



Дисперсия системы

Дисперсия системы определяется по законам отдельных составляющих системы:

Среднее квадратическое отклонение характеризует рассеивание системы относительно центра (математического ожидания).

Корреляционный момент

Корреляционный момент есть математическое ожидание центрированной системы: Для дискретной системы:

Для непрерывной системы:

х,у – возможные значения ξ, η;

f(x,y) – плотность вероятностей системы.

Геометрически Кξη показывает величину отклонения системы от центра. Если Кξη ≠0, то система коррелированна. Если Кξη =0, то система не коррелированна. Из независимости системы вытекает некоррелированность, обратное может быть и неверно.

Свойства корреляционного момента

  • Корреляционный момент симметричен:

Кξη = К ηξ;
  • Кξξ = Dξ; Кξξ = M(x-Mξ)(x-Mξ)=Dξ;

  • Kηη= Dη; Kηη= M(y-Mη)(y-Mη)=Dη;

  • Совокупность всех корреляционных моментов, расположенных в квадратной таблице называется корреляционной матрицей системы:



Коэффициент корреляции

  • Наличие размерности у корреляционного момента вызывает неудобства, поэтому вместо корреляционного момента используют коэффициент корреляции:



Коэффициент корреляции обладает свойствами корреляционного момента:
  • показывает меру линейной связи между случайными величинами:

  • rξη = 0, если ξ,η некоррелированные случайные величины;

  • коэффициент корреляции системы симметричен: rξη = rηξ;

  • / rξη /1; (1 – максимальное значение);

  • Совокупность всех коэффициентов корреляции в виде таблице образуют нормированную корреляционную матрицу системы:



Условное математическое ожидание; линейная регрессия

  • Для дискретной ξ:

  • Для непрерывной ξ : Функция регрессии показывает среднее значение η на ξ. С помощью регрессии осуществляется наилучший прогноз η по ξ.



  • В практике функция регрессии относится к линейной: φ(х)=β0 + β1х; β0, β1 – параметры – коэффициенты регрессии.

Коэффициенты регрессии подбирают так, чтобы обеспечить минимум среднего разброса η относительно прямой регрессии (метод наименьших квадратов): вводится уклонение η относительно прямой регрессии: Δ = (у – (β0 + β1х)):

находим дисперсию:

Δ2(β0, β1) = М(у – (β0 + β1х)) 2 min→ β0, β1 : после преобразования получим:

φ(х)=β0 + β1х = Мη + rξη∙ση/σξ∙(x - Mξ).