uzluga.ru
добавить свой файл
1


Литература

  • Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б. Элементы линейной алгебра и аналитической геометрии

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия

  • Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии

  • Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейнман В.Б. Сборник задач по линейной алгебра и аналитической геометрии

  • Барышева В.К., Ивлев Е.Т., Пахомова Е.Г. Руководство к решению задач по аналитической геометрии


Глава I. Элементы линейной алгебры

  • Линейная алгебра – часть алгебры, изучающая линейные пространства и подпространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах



§ 1. Матрицы и действия над ними 1. Определение и некоторые виды матриц

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера mn называется таблица, образованная из элементов некоторого множества (например, чисел или функций) и имеющая m строк и n столбцов.

  • Если mn, то матрицу называют прямоугольной.

  • Если mn, то матрицу называют квадратной, порядка n.

  • Элементы, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

  • Например, a24 –

  • a13 –



Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. aij  bij.



Некоторые частные случаи матриц



Элементы a11, a22, …, akk (где k  min{m,n}) будем называть элементами главной диагонали матрицы.

  • Элементы a11, a22, …, akk (где k  min{m,n}) будем называть элементами главной диагонали матрицы.

  • Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:



5) Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементы a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 будем называть элементами побочной диагонали матрицы.

  • 5) Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементы a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 будем называть элементами побочной диагонали матрицы.

  • Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше) главной или побочной диагонали равны нулю, называются треугольными :



6) Прямоугольную матрицу размера m  n будем называть трапециевидной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:

  • 6) Прямоугольную матрицу размера m  n будем называть трапециевидной, если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:



2. Линейные операции над матрицами

  • 1) Произведение матрицы на число;

  • 2) Сумма матриц.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A=(aij) на число  называется такая матрица B=(bij), элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы A на число , т.е. bij= ·aij.

  • Обозначают: ·A, A.

  • Частный случай: (-1)·A – противоположная матрице A,

  • Обозначают –A.



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера, называется такая матрица C=(cij), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. cij = aij + bij .

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij) одинакового размера, называется такая матрица C=(cij), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. cij = aij + bij .

  • Обозначают: A+B

  • Частный случай: A+(–B) – разность матриц A и B.

  • Обозначают: A–B



Свойства линейных операции над матрицами



3. Нелинейные операции над матрицами

  • 1) Умножение двух матриц;

  • 2) Транспонирование матрицы.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a1i) и B=(bi1) – матрица-строка и матрица-столбец одинаковой длины n. Произведением матрицы-строки A на матрицу-столбец B называется число c (т.е. матрица размера 1), равное сумме произведений их соответствующих элементов, т.е.

  • c  a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 + … + a1n · bn1 .



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(aij) – матрица размера m  n, B=(bij) – матрица размера n  k (т.е. количество столбцов в матрице A совпадает с количеством строк матрицы B). Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C =(cij) размера m  k такая, что каждый ее элемент cij является произведением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(aij) – матрица размера m  n, B=(bij) – матрица размера n  k (т.е. количество столбцов в матрице A совпадает с количеством строк матрицы B). Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C =(cij) размера m  k такая, что каждый ее элемент cij является произведением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е.

  • cij  ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + … + ain · bnj .

  • Обозначают: A ·B, AB.



Свойства операции умножения матриц



ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m  n. Матрица размера n  m, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается AТ.

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m  n. Матрица размера n  m, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается AТ.

  • Операция нахождения матрицы AТ называется транспонированием матрицы A.

  • Свойства операции транспонирования матриц