uzluga.ru
добавить свой файл



Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

  • Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

  • Примечание. В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу теоремы о сумме углов многоугольника) также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360° - прямоугольников не существует.



Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.

  • Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.

  • Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.

  • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора).

  • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.(радиус равен полудиагонали)



Длиной прямоугольника называют длинну более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.

  • Длиной прямоугольника называют длинну более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.

  • Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его длину (высоту).

  • Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.



Диагонали прямоугольника равны.

  • Диагонали прямоугольника равны.

  • Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.

  • Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.



Параллелограмм является прямоугольником, если выполняются условия:

    • Параллелограмм является прямоугольником, если выполняются условия:
  • Если 4 угла равны 90 градусам, то это прямоугольник

  • Если диагонали параллелограмма равны.

  • Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон.



Задача№1

  • Задача№1

  • Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.

  • Дано:

  • ABCD- параллелограмм

  • A= 90

  • Доказать:

  • ABCD-прямоугольник



ABCD-параллелограмм, следовательно, AB=CD, BC=AD, угол A=угол C= 90градусов; угол B= угол D.

  • ABCD-параллелограмм, следовательно, AB=CD, BC=AD, угол A=угол C= 90градусов; угол B= угол D.

  • Т.к. угол A+ угол B= 180 градусов, то угол B= 180градусов – 90градусов = 90градусов

  • т.е. в ABCD стороны попарно равны; все углы прямые, следовательно, ABCD- прямоугольник.



Задача№2

  • Задача№2

  • Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник- прямоугольник.

  • Дано: угол А= уголу В= уголу С= углу D=90градусов

  • Доказать: АВСD- прямоугольник



Док-во:

  • Док-во:

  • угол А+ угол В=180градусов

  • угол А, угол В- односторонние при АD и ВС и секущей АВ, следовательно, АDII ВС; также, АВIIСD, угол В, угол С- односторонние при CD и АВ и секущей ВС;

  • ADIIBC, ABIICD, следовательно, ABCD-прямоугольник.

  • Ч.т.д.



Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus «бубен») — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Ромб является параллелограммом. Ромб с прямыми углами называется квадратом.



Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС.

  • Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны, АВ || CD, AD || ВС.

  • Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам.

  • Доказательство

  • Пусть ABCD – данный ромб. Рассмотрим треугольник ABD. AB = AD по условию, и, следовательно, Δ ABD равнобедренный. Так как ABCD – параллелограмм, то BO = OD. Тогда AO – медиана и по теореме 4.4 AO – высота в треугольнике BAD. Следовательно, (AC)   (BD) .



Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).

  • Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).

  • Доказательство

  • Пусть ABCD – данный ромб. Рассмотрим треугольник ABD. AB = AD по условию, и, следовательно, Δ ABD – равнобедренный. Так как ABCD – параллелограмм, то BO = OD. Тогда AO – медиана и по теореме 4.4 AO – биссектриса в треугольнике BAD. Следовательно, BAO =  DAO. Аналогично, рассмотрев треугольник ABC, получаем, что BO – медиана в равнобедренном треугольнике ABC, и, следовательно, BO – биссектриса угла ABC. Теорема доказана.

  • Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).



Параллелограмм ABCD является ромбом, если выполняется одно из следующих условий:

  • Параллелограмм ABCD является ромбом, если выполняется одно из следующих условий:

  • Все его стороны равны (AB = BC = CD = AD).

  • Его диагонали пересекаются под прямым углом (AC⊥BD).



Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб.

  • Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм – ромб.

  • Доказательство

  • Пусть ABCDданный параллелограмм, AC и BD – его диагонали и (AC)   (BD). Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC. Действительно, так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то AO = OC, и тогда BO – медиана треугольника ABC, проведенная к стороне AC. Но по условию (BO)   (AC) и [BO] – высота треугольника ABC. Тогда ABC – равнобедренный треугольник с основанием AC. Отсюда – AB = BC. По свойству равенства противоположных сторон параллелограмма следует, что AB = BC = CD = AD. Таким образом, данный параллелограмм – ромб. Теорема доказана.



Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб.

  • Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм – ромб.

  • Доказательство

  • Пусть ABCDданный параллелограмм, AC – его диагональ и, при этом, AC – биссектриса угла A параллелограмма. Так как AC – биссектриса угла A, то BAC =  CAD. С другой стороны, углы CAD и BCA внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC и по теореме 3.4 BCA =  CAD. Отсюда BAC =  BCA и по признаку равнобедренного треугольника (теорема 4.5) ABC равнобедренный, и, следовательно, AB = BC. Так как ABCD – параллелограмм, то AB = CD, BC = AD. Тогда AB = BC = CD = AD. Таким образом, ABCD – ромб. Теорема доказана.



Задача№1

  • Задача№1

  • В ромбе ABCD биссектриса угла ВAC пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в точках М и N. Найдите угол АNВ, если

  • АМС = 120 .



  • В ромбе противолежащие углы равны и

  • диагонали являются биссектрисами его углов,

  • т.е. <ВАС = <ВАD : 2 =<ВСD : 2 = <ВСА.

  • Т.к. АМ – биссектриса <ВАС, а <ВАС = <ВСА,

  • то <МАС = <МСА : 2.

  • В треугольнике АМС

  • <МАС + <МСА = 180º - <АМС

  • <МАС + <МСА =180º -120º

  • <МАС + <МСА = 60º.

  • <МАС = <МСА : 2, тогда

  • <МАС = 20º,

  • <ВАС = 40º.

  • В ромбе диагонали

  • взаимно перпендикулярны,

  • треугольник АОВ – прямоугольный,

  • <АВО = 90º - <ВАО = 50º.

  • В треугольнике АВN

  • Ответ: < ANB = 110º.



Задача№2

  • Задача№2

  • В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а)углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.

  • Решение:

  • AB=AC, следовательно, тр.ABC-равносторонний, т.е. угол1= углуB= углу3= 60градусов

  • По свойству углов ромба уголA+ уголB= 180градусов, т.е. уголA=180градусов- 60градусов=120градусов.

  • Тр. ABO-прямоугольный, т.е. из свойства углов

  • 4) угол1+угол2= 90градусов,

  • 60градусов + угол2 = 90градусов,

  • угол2= 30градусов.

  • Ответ: а) уголA=уголC=120градусов, уголB=уголD=60градусов; б) угол1=

  • 60градусов, угол2= 30градусов.



Квадра́т — правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

  • Квадра́т — правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.



Все углы квадрата прямые.

  • Все углы квадрата прямые.

  • Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.



Около квадрата можно описать окружность. Радиус описанной окружности выражается через сторону a квадрата и его диагональ d: R = a :v 2= d:2

  • Около квадрата можно описать окружность. Радиус описанной окружности выражается через сторону a квадрата и его диагональ d: R = a :v 2= d:2

  • В квадрат можно вписать окружность. Радиус вписанной окружности равен половине стороны: r = а:2



Задача№1

  • Задача№1

  • Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.

  • Дано: ABCD-ромб,

  • угол A= 90градусов

  • Доказать: ABCD-квадрат.



Док-во:

  • Док-во:

  • ABCD- ромб, следовательно:

  • AB=BC=CD=AD,

  • уголA= уголC= 90градусов

  • уголA+ уголB=180градусов, т.е. уголB=180градусов- уголA= 90градусов.

  • Т.к. все стороны равны и все углы равны 90градусов, то ABCD-квадрат



Задача№2

  • Задача№2

  • В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырехугольник-квадрат.

  • Дано:

  • тр.ABC, уголC=90градусов

  • CE-биссектриса;

  • EKIIAC, MEIICK

  • Доказать: CMEK-квадрат



По условию МСIIЕК, значит, по определению СМЕК-параллелограмм.

  • По условию МСIIЕК, значит, по определению СМЕК-параллелограмм.

  • По свойству углов параллелограмма угол С = уголу Е, т.к. СЕ- биссектриса угла С, то ЕС-биссектриса угла Е, значит, угол1=угол2 и тр. СЕК- равнобедр.(по признаку).

  • Т.е. СК=ЕК.

  • СК=МЕ, т.к. СМЕК-параллелограмм,

  • Следовательно, СМЕК- ромб.

  • угол С=90градусов,значит, угол Е=90градусов, угол М= угол К=90градусов.

  • Следовательно, СМЕК- квадрат, что и требовалось доказать.



Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали: а)равны и взаимно перпендикулярны; б)взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в)равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?

  • Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали: а)равны и взаимно перпендикулярны; б)взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в)равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?