uzluga.ru
добавить свой файл
1


ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Макеевская общеобразовательная школа I – III ступеней № 11

Учебный проект

«Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека»

Авторы проекта:

Антюхова Екатерина

Гиниятуллин Ринат

Скобенко Владимир

Гончаров Роман

Михайловский Виталий

Шульга Екатерина

Руководитель проекта:

Полищук Ирина Валериевна

г. Макеевка

2011

Введение

Тригонометрия - это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.

Сегодня мы хотим поделиться с вами результатами проделанной работы, и вы сможете убедиться, что это действительно так.

Гипотеза

Мы считаем, что большинство физических явлений природы, физиологический процессов, закономерностей в музыке и искусстве можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.

История тригонометрии



Арабские Зиджи

Улугбек (1394-1449) -

основатель научной школы в

Самарканде.

Преобразование тригонометрии в самостоятельную часть математики

Основные сочинения:

  • Насирэддин Туей - «Трактат о полном четырехстороннике»

1-ая и 2-ая книги включают в себя вспомогательный материал для построения тригонометрии;

в 3-ей книге введены понятия синуса и

косинуса, правила решения плоских треугольников

и доказательство теоремы синусов;

в 4-ой и 5-ой книгах показаны основы

сферической тригонометрии.

  • Иоганн Мюллер (Региомонтан) - «Пять книг о

треугольниках всех видов»

  • Коперник - «Об обращениях небесных тел»



Тихо-Браге - разработал много вычислительных приемов. облегчающих задачу решения треугольников

  • Тихо-Браге - разработал много вычислительных приемов. облегчающих задачу решения треугольников

  • Г. С. Клюгель (1770 г.) – ввел понятие

«тригонометрические функции»

Стадии развития тригонометрии:

Стадии развития тригонометрии:

  • Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов.

  • Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Результат - возможность решать плоские треугольники.

  • Необходимость табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

  • Тригонометрические функции превращались в самостоятельные объекты исследований.

  • В XVIII в. тригонометрические функции были включены в систему математического анализа.



Тригонометрия в физике



Математический маятник



Гармонические колебания

Формулы колебаний:

где A – амплитуда колебания, - угловая

частота колебания, - начальная фаза

колебания, - фаза колебания.

Траектория пули и проекции векторов на оси X и Y



Задачи практического содержания

1. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 24,5о, находится тело массой 90 кг. Найдите, с какой силой оно стремится скатится по наклонной плоскости и какое давление оно производит на эту плоскость.

2. Силы в 40 Н и 56 Н действуют на одну и ту же точку тела под прямым углом. Найдите равнодействующую этих сил и углы, образуемые ею с каждой из составляющих.

3. Требуется найти высоту башни СК, к основанию С которой нельзя подойти. Для этого на доступной поверхности земли отметили две точки А и В, расположенные с точкой С на одной прямой, и произвели следующие замеры: АВ=12м, CВК=47о, САК=42о. Достаточно ли этих данных для нахождения высоты?

4. Найдите длину равнодействующей двух сил Р1 и Р2 образующих между собой угол q.

Задача 1:

На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 24,5о, находится тело массой 90 кг. Найдите, с какой силой это тело давит на наклонную плоскость (т.е какое давление оказывает тело на эту плоскость).

Задача 2:

Силы в 40 Н и 56 Н действуют на одну и ту же точку тела под прямым углом. Найдите равнодействующую этих сил и углы, образуемые ею с каждой из составляющих.

Теория радуги

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

n1 - показатель преломления первой среды  n2 - показатель преломления второй среды

α-угол падения, β-угол преломления света

Схема образования Радуги



Северное сияние

Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

Тригонометрия и тригонометрические функции в медицине и биологии.

  • Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

  • Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

  • Основной земной ритм – суточный.

  • Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.



Модель биоритмов.



Многофункциональная тригонометрия

  • Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

  • К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

  • Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.



Описание движения рыб в воде тригонометрическими функциями

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

Возникновение музыкальной гармонии

  • Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

  • Частоты, соответствующие

одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

  • диатоническая гамма 2:3:5



У музыки есть своя геометрия





Решение неравенств и уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции

Пример1.Решим уравнение: 2arctg (2x+1) = arccos x.

Решение:

2arctg (2x+1) = arcсos x,

Cos [ 2 arctg (2x+1) ] = x,

arctg (2x+1)=у,

Cos2y=1-tg²y/1+tg²y,

1-(tg(arctg(2x+1)))²/ 1+(tg(arctg(2x+1)))²,

tg(arctg(2x+1))=2x+1,

(1-(2x+1)²)/(1+(2x+1)²)=(2x²+2x)/(1+2x+2x²),

(2x²+2x)/(1+2x+2x²) =x,

2x³-x=0,







Заключение

  • Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

  • Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, архитектуре и медицине.

  • Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.