uzluga.ru
добавить свой файл
1


Презентация по теме: «Свойства окружности»

Работу выполнила

Ходырева Алина, ученица 9 «В» класса, тел. : 326-89-30

Что же такое окружность? Рассмотрим два определения окружности:



Основные термины

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к

окружности, а их общая точка называется точкой

касания прямой и окружности. ( рис. 1 )

2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. (рис. 4)

Свойства хорд

1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде. ( рис. 5)



Свойства окружности

  • Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).

  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

  • Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.



Теорема о касательной и секущей



Теорема о секущих

  • Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.



Углы в окружности

  • Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

  • Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом.

  • Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего ей центрального угла.

  • Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.



Свойства углов, связанных с окружностью

1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до 180°. (Рис. 9 и 10)



3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° (Рис. 10)

3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° (Рис. 10)

Длины и площади

1. Длина окружности C радиуса R вычисляется по формуле: C = 2πR.

2. Площадь S круга радиуса R вычисляется по формуле:

S =  πR2.

3. Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом ,измеренным в радианах, вычисляется о формуле:

L = αR.

4. Площадь S сектора радиуса R с центральным углом в альфа радиан вычисляется по формуле:

S = ½ R2α.



Вписанные и описанные окружности

  • Окружность и треугольник:

центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника, ее радиус r вычисляется по формуле:

r = S/p

где S — площадь треугольника, а p = (a+b+c)/2 — полупериметр;

центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, ее радиус R вычисляется по формуле:

R =  1/2 a/ sin альфа;

R = abc / 4S

здесь a, b, c — стороны треугольника, альфа — угол, лежащий против стороны a,  S — площадь треугольника;



Окружность и четырехугольники



в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у него равны суммы противоположных сторон: a + c = b + d;



около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;