uzluga.ru
добавить свой файл



Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

  • Величины одного рода или однородные величины - это величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов.

  • Пример: длина стола, длина комнаты- это величины одного рода.



Основные положения:

  • 1) Любые две величины сравнимы: они либо равны, либо одна меньше другой. Имеют место отношения "равно","меньше" и "больше",и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отношений: А,A=B,A>B.

  • Пример: масса яблока меньше массы арбуза.

  • 2) Отношение "меньше" для однородных величин транзитивно: если A и B, то A.

  • Пример: если масса яблока М1 меньше массы яблока М2,и масса яблока М2 меньше массы яблока М3,то масса яблока М1 меньше массы яблока М3.

  • 3) Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода: С=А+В, С-сумма величин А и В.

  • Сложение величин коммутативно и ассоциативно.

  • Пример: если А-масса арбуза, В-масса яблока, то С=А+В- это масса арбуза и яблока.



4) Величины одного рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода. Определяют вычитание через сложение.

  • 4) Величины одного рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода. Определяют вычитание через сложение.

  • Разностью величин А и В называется такая величина С=А-В, что А=В+С. Разность величин А и В существует, если А>В.

  • Пример: если А-длина отрезка a, В-длина отрезка b, то С=А-В- это длина отрезка c.



5) Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода. Для любой величины А и любого положительного числа х существует единственная величина В= х х А, В- произведение величины А на число х.

  • 5) Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода. Для любой величины А и любого положительного числа х существует единственная величина В= х х А, В- произведение величины А на число х.

  • Пример: если А-масса одного яблока, то умножив А на число х=3,получим величину В=3 х А - массу трех яблок.



6) Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число.

  • 6) Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число.

  • Частным величин А и В называется такое положительное действительное число х = А:В, что А = х х В.

  • Пример: если А-длина отрезка а, В-длина отрезка b и отрезок А состоит из 4-х отрезков равных b, то А:В=4,т.к А = 4 х В.



Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью- их можно оценивать количественно.

  • Выбирают величину, которую называют единицей измерения-Е.

  • Если задана величина А и выбрана единица величины Е, то измерить величину А-это значит найти такое положительное действительное число х, что А= х х Е.

  • Число х- численное значение величины А при единице величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А больше(меньше) величины Е, принятой за единицу измерения.



Если А = х х Е, то число х называют мерой величины А при единице Е и пишут х= mE(А)

  • Если А = х х Е, то число х называют мерой величины А при единице Е и пишут х= mE(А)

  • Пример: А-длина отрезка а, Е-длина отрезка b, то А=4 х Е.число 4-это мера длины А при единице длины Е.



Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной.

  • Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной.

  • Положительная скалярная величина - скалярная величина, которая при выбранной единице измерения принимает только положительные численные значения.

  • Пример: площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др.

  • Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода или разнородными величинами.

  • Пример: длина и масса-это разнородные величины.





1. О каких величинах идет речь в следующих предложениях:

  • Персики дороже яблок.

  • Шкаф тяжелее стула.

  • Катя выше Гали.



Положительная скалярная величина.

  • Положительная скалярная величина.

  • а) Персики дороже яблок- стоимость.

  • б) Шкаф тяжелее стула- масса.

  • в) Катя выше Гали- длина.



2. Какие величины можно сравнить между собой:

  • а) 1200 м;

  • б) 20 штук

  • в) 320 кг

  • г) 12 мин





3. Назовите объект, его величину, численное значение и единицу измерения величины:

  • а)В сумке 5 кг апельсинов.

  • б)Глубина бассейна 2 м.

  • в)Площадь участка 8 соток.

  • г)Рост мальчика 1м 70 см.



а) объект- апельсины, величина -масса, число 5-численное значение, единица измерения- килограмм;

  • а) объект- апельсины, величина -масса, число 5-численное значение, единица измерения- килограмм;

  • б) объект -глубина бассейна, величина-длина, число 2- численное значение, единица измерения- метр;

  • в) объект -участок, величина - площадь, число 8-численное значение, единица измерения- сотка;

  • г) объект -рост мальчика, величина - длина, число 1м 70 см -численное значение, единица измерения м и см.



Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины. Смысл суммы и разности

  • Понятие: "отрезок состоит из отрезков".

  • Определение. Считают, что отрезок х состоит из отрезков х1,х2,…хп , если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы: отрезок х разбит на отрезки х1,х2,…хп и пишут х= х1+х2+…+хп

  • Пусть задан отрезок х, его длина обозначим Х, е - единичный отрезок, Е-длина отрезка.



Определение. Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

  • Определение. Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х данного отрезка при единице длины Е.

  • Пример: х- отрезок, состоит из 6 отрезков, равных отрезку е- единичный отрезок; Е-длина единичного отрезка; Х-длина отрезка х, то Х=6Е или 6=mЕ(Х).



  • Из определения получаем, что НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО как результат измерения длины отрезка (или мера длины отрезка),показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.

  • Замечания:

  • 1. При переходе к другой единице длины численное значение длины отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным.

  • Пример: если в качестве единицы длины выбрать е1,то мера длины отрезка х=3. Записывается: Х=3 х Е1 или mE1(Х)=3.

  • 2. Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок e состоит из b отрезков, равных е, то а=b, тогда и только тогда, когда отрезки х=у.

  • Пример: В записи 3 см2 число 3 означает, что фигура F состоит из трех единичных квадратов с площадью равной квадратному сантиметру.



Смысл суммы натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

  • Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.



Смысл разности натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

  • Теорема. Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длина отрезков х и у выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у.





1. Какой смысл имеет натуральное число 5, если оно получается в результате:

  • а) Длины отрезка;

  • б) Площади фигуры;

  • в) Массы тела?



а) мера длины отрезка;

  • а) мера длины отрезка;

  • б) фигура состоит из 5 единичных квадратов;

  • в) численное значение массы.



2. Объясните, почему следующая задача решается при помощи сложения:

  • Когда со стола взяли 3 книги, то на нем осталась 1 книга.

  • Сколько книг лежало на столе первоначально?



В задаче идет речь о количестве книг. Известно их численное значение. Требуется найти численное значение количества книг, которое получится, если данные книги сложить.

  • В задаче идет речь о количестве книг. Известно их численное значение. Требуется найти численное значение количества книг, которое получится, если данные книги сложить.

  • Получаем выражение 3+1.Это математическая модель данной задачи. Вычислив значение выражения 3+1,получим ответ на вопрос задачи.



3. Объясните, почему следующая задача решается при помощи вычитания:

  • С двух участков собрали 8 пучков укропа. Сколько пучков укропа собрали с первого участка, если со второго участка собрали 5 пучков?



В задаче рассматривается количество пучков укропа, известно их численное значение. Это количество складывается из количества пучков укропа, собранных с первого и второго участков, численное значение которого также известно. Требуется узнать численное значение пучков укропа, собранных с первого участка.

  • В задаче рассматривается количество пучков укропа, известно их численное значение. Это количество складывается из количества пучков укропа, собранных с первого и второго участков, численное значение которого также известно. Требуется узнать численное значение пучков укропа, собранных с первого участка.

  • Так как количество пучков укропа собранных с первого участка можно получить, вычитая из общего количества пучков укропа, собранных с двух участков количество собранных пучков со второго участка, то численное значение пучков укропа, собранных с первого участка находят действием вычитания:

  • 8-5.

  • Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи.



4. Обоснуйте выбор действия при решении задачи:

  • Купили 3 кг яблок, а апельсинов на 2 кг больше. Сколько килограммов апельсинов купили?



В задаче идет речь о двух величинах- массе яблок и массе апельсинов. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй массы надо найти, зная, что апельсинов на 2 кг больше, чем яблок.

  • В задаче идет речь о двух величинах- массе яблок и массе апельсинов. Численное значение первой массы известно, а численное значение второй массы надо найти, зная, что апельсинов на 2 кг больше, чем яблок.

  • Видно, что апельсинов купили столько же, сколько яблок, и еще 2 кг, т.е масса апельсинов складывается из двух масс яблок(3кг и 2кг), и чтобы найти ее численное значение, надо сложить численные значения масс-слагаемых. Получаем выражение 3+2, значение которого и будет ответом на вопрос задачи.



  • Умножение и деление натуральных чисел- мер величин связано с переходом от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.



Смысл произведения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

  • Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Е1, то мера длины отрезка х при единице длины Е2 равна а х b.



Смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

  • Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, отрезок длины Е1 состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е1 равна а:b.



Задачи.

  • 1.Объяснить смысл произведения 3х4, если 4 и 3-числа полученные в результате измерения величин.

  • Решение. Пусть 4=mE(X),3=mE1(E), где Х - измеряемая величина,

  • Е - первоначальная единица величины, а Е1-новая единица величины. Тогда согласно теореме, 4х3=mE1(X), т.е 4х3 -это численное значение длины Х при единице длины Е1.



  • 2. Обосновать выбор действия при решении задачи.

  • В одной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках?

  • Решение. В задаче идет речь о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины при указанной единице. Требуется найти численное значение этой же величины при новой единице - ручка, причем известно, что коробка – это 6 ручек.

  • Тогда 3кор.=3 х кор.=3 х (6 руч.)=3 х (6 х руч.)=(3 х 6)руч.

  • Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной единицы величины (коробка) к другой - ручка.



  • 3. Обосновать выбор действия при решении задачи.

  • Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили?

  • Решение: В задаче рассматривается длина ткани, которая измерена сначала при помощи единицы длины метр, и известно численное значение заданной величины. Требуется найти численное значение той же длины при условии, что она измеряется новой единицей –платьем, причем известно, что платье-это 4м,откуда метр-это 1/4 платья:

  • 12м=12 х м=12 х (1/4 пл.)=(12 х 1/4)пл.=(12:4)пл.=3пл.



  • 4. Обосновать выбор действия при решении задачи.

  • Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили?

  • Решение: В задаче рассматривается масса моркови и масса картофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в 2 раза больше первой. Масса картофеля складывается из двух масс по 3кг,численное значение массы картофеля можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3х2,получим ответ на вопрос задачи.





Обоснуйте выбор действия при решении задач:



В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена единицы массы – килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единицы массы.

  • В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена единицы массы – килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единицы массы.

  • Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы- пакета, причем известно, что 1 пакет-это 2 кг.

  • Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице- пакет, можно представить в таком виде:

  • 6кг=6 х кг=6 х (1/2 пак.)=(6 х 1/2)пак.=(6:2)пак.



Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3.

  • Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3.

  • Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3.

  • Произведение 3 х 2 будет математической моделью данной задачи.

  • Вычислив его значение, будем иметь ответ на вопрос задачи.



В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получится число, которое находим разделив численное значение одной величины на численное значение другой.

  • В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получится число, которое находим разделив численное значение одной величины на численное значение другой.

  • Таким образом, получаем частное 6:2. Его значение и будет ответом на вопрос задачи.