uzluga.ru
добавить свой файл
1



План:

  • Определение.

  • Свойства.

  • Десятичные и натуральные логарифмы.

  • Логарифмическая функция, ее свойства и график.

  • Решение логарифмических уравнений и неравенств.



Определение логарифма:

  • Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.

  • Основное логарифмическое тождество:

  • alogab= b, где b>0, a>0

  • Действие нахождения логарифма называется логарифмированием.



Свойства логарифмов:

  • Loga(bc)=logab+ logac

  • Loga (b/с)= logab-logac

  • Logabr=rlogab

  • Logab=logcb/logca

  • Logab=1/logba

  • alogbc= clogba

  • Logarb=1/r logab

  • alogab= b



Десятичные и натуральные логарифмы:

  • Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10. Записывается lgb

  • Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e-иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом записывается lnb



Логарифмическая функция.

  • Логарифмическая функция: y=logax

  • Свойства:

  • Множество значений логарифмической функции -множество всех положительных чисел

  • Множество значений логарифмической функции-множество R всех действительных чисел.

  • Логарифмическая функция y=logax является возрастающей на промежутке x>0, если a>1, и убывающей, если 0

  • Если a>1, то функция y=logax принимает положительные значения при x>1, отрицательные при 01.

  • Логарифмическая функция y=logax и показательная функция y=ax, где a>0, a≠1, взаимно обратны.



Логарифмическая функция и её график:



Логарифмические уравнения

  • Решить уравнение:

  • Log2(x+1)+ Log2(x+3)=3

  • Решение:

  • Используя свойство логарифма, получаем:

  • Log2(x+1)(x+3)=3

  • Из этого равенства по определению логарифма получаем:

  • (x+1)(x+3)=8.

  • Теперь раскроем скобки и решим квадратное уравнение x2+4x-5=0, откуда x1=1, x2=-5

  • При X2=-5 числа (x+1 и x+3)<0, следовательно x=-5 не является корнем уравнения.

  • Ответ. X=1



Решение систем:

  • Решить систему уравнений:

  • log2x - log2y = 1,

  • 4y2 +x - 12= 0.



Логарифмические неравенства:

  • Решить неравенство:

  • log2(x-3) + log2(x-2) ≤ 1

  • Решение:

  • О.о. X>3.

  • Используя свойства логарифма, получаем:

  • log2(x-3) (x-2) ≤ log22. Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, поэтому при x>3 неравенство log2(x-3) (x-2) ≤ log22 выполняется при (x-3)(x-2)≤2. Это неравенство можно записать в виде системы уравнений:

  • (x-3)(x-2) ≤2

  • X>3

  • /////////////// ///////

  • 0 1 3 4