uzluga.ru
добавить свой файл



Определение 1.

  • Определение 1.

  • Линейное дифференциальное уравнение

  • n-го порядка имеет вид

  • где



Определение 1.

  • Определение 1.

  • Линейное дифференциальное уравнение

  • n-го порядка имеет вид

  • где

  • Определение 2.

  • Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если

  • и называется неоднородным, если



  • Определение 3.

  • Линейным дифференциальным оператором n-го порядка называется выражение:



Определение 4.

  • Определение 4.

  • Общим решением ЛДУ n-го порядка называется

  • функция ,

  • зависящая от х и n произвольных постоянных,

  • если любое решение может быть получено из нее при некоторых конкретных значениях постоянных.

  • Решение, полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных, называется частным решением.



  • Задача Коши.

  • Найти решение ЛДУ n-го порядка

  • удовлетворяющее начальным условиям



Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

  • Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

  • Определение 1.

  • Система функций

  • называется линейно зависимой в интервале

  • если найдутся такие коэффициенты

  • что среди них есть хотя бы один, отличный от нуля, а линейная комбинация функций

  • тождественно равна нулю в интервале



Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

  • Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

  • Частный случай.

  • Система двух функций

  • будет линейно зависимой в интервале

  • тогда и только тогда, когда их отношение

  • Доказательство. Необходимость.

  • - линейно зависимы

  • Достаточность.



Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

  • Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

  • Определение 2.

  • Система функций

  • называется линейно независимой в интервале

  • если линейная комбинация этих функций

  • тождественно равна нулю при всех

  • лишь в том случае, когда все коэффициенты

  • равны нулю.



Примеры.

  • Примеры.

  • 1. Система функций

  • линейно независимая в любом интервале

    • Рассмотрим линейную комбинацию этих функций и предположим, что она тождественно равна нулю:
    • Тогда и производные от нее должны равняться нулю:
    • Отсюда следует:


Примеры.

  • Примеры.



Примеры.

  • Примеры.



Определитель Вронского.

  • Определитель Вронского.

  • Пусть функции

  • имеют в интервале непрерывные

  • производные до порядка k-1 включительно.

  • Определение.

  • Определителем Вронского системы функций

  • называется определитель



Определитель Вронского.

  • Определитель Вронского.

  • Теорема (необходимое условие линейной зависимости).

  • Пусть система функций

  • линейно зависима в .

  • Тогда при всех

  • Доказательство ( при к=2).

  • 1.

  • 2.