Определение 1.

• Определение 1.

• Линейное дифференциальное уравнение

• n-го порядка имеет вид

• где

Определение 1.

• Определение 1.

• Линейное дифференциальное уравнение

• n-го порядка имеет вид

• где

• Определение 2.

• Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если

• и называется неоднородным, если

• Определение 3.

• Линейным дифференциальным оператором n-го порядка называется выражение:

Определение 4.

• Определение 4.

• Общим решением ЛДУ n-го порядка называется

• функция ,

• зависящая от х и n произвольных постоянных,

• если любое решение может быть получено из нее при некоторых конкретных значениях постоянных.

• Решение, полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных, называется частным решением.

• Задача Коши.

• Найти решение ЛДУ n-го порядка

• удовлетворяющее начальным условиям

Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

• Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

• Определение 1.

• Система функций

• называется линейно зависимой в интервале

• если найдутся такие коэффициенты

• что среди них есть хотя бы один, отличный от нуля, а линейная комбинация функций

• тождественно равна нулю в интервале

Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

• Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

• Частный случай.

• Система двух функций

• будет линейно зависимой в интервале

• тогда и только тогда, когда их отношение

• Доказательство. Необходимость.

• - линейно зависимы

• Достаточность.

Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

• Линейно зависимые и линейно независимые системы функций.

• Определение 2.

• Система функций

• называется линейно независимой в интервале

• если линейная комбинация этих функций

• тождественно равна нулю при всех

• лишь в том случае, когда все коэффициенты

• равны нулю.

Примеры.

• Примеры.

• 1. Система функций

• линейно независимая в любом интервале

• Рассмотрим линейную комбинацию этих функций и предположим, что она тождественно равна нулю:
• Тогда и производные от нее должны равняться нулю:
• Отсюда следует:

Примеры.

• Примеры.

Примеры.

• Примеры.

Определитель Вронского.

• Определитель Вронского.

• Пусть функции

• имеют в интервале непрерывные

• производные до порядка k-1 включительно.

• Определение.

• Определителем Вронского системы функций

• называется определитель

Определитель Вронского.

• Определитель Вронского.

• Теорема (необходимое условие линейной зависимости).

• Пусть система функций

• линейно зависима в .

• Тогда при всех

• Доказательство ( при к=2).

• 1.

• 2.