uzluga.ru
добавить свой файл


Методы и способы решения задач на смеси, растворы и сплавы

Цель: создание условия для выработки алгоритма решения задач на смеси и сплавы, нахождение различных способов решения одной задачи.

Задачи:
  • обобщить способы и методы решения задач на данную тематику;

  • развивать умения применять ранее изученные нестандартные методы для решения данного типа задач;

  • воспитание уверенности в себе, активности, умения работать в коллективе, стремление достигать поставленной цели.


Актуализация темы

  • Анализ результатов ЕГЭ с момента его существования говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу составляет около 30%.

  • В школьной программе почти не рассматриваются задачи на смеси, сплавы и растворы, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», поэтому мы решили такого типа задачи рассмотреть на занятиях

математического кружка в 8 классе.

Если запастись терпением и проявить старание, то посеянные семена – знания непременно дадут добрые всходы. Ученья корень горек, да плод сладок.

Если запастись терпением и проявить старание, то посеянные семена – знания непременно дадут добрые всходы. Ученья корень горек, да плод сладок.

Леонардо да Винчи

Различные задачи

I.Задачи на сплавы:
  • Имеются сплавы золота и серебра. В одном сплаве эти металлы находятся в отношении 2:3, а в другом - в отношении 3:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находятся в отношении 5:11?



х г. – золото, у г. – серебро

Способы решения такого типа задач
  • схематический + алгебраический



Уравнение: 0,15х+0,65(200-х)=0,3∙200

  • Имеются 2 сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200 г сплава, содержащего 30% меди?

  • Первый способ решения задачи

Изобразим сплавы в виде прямоугольников

М С + М С = М С

Х г (200-х)г 200 г

  • Второй способ решения задачи: - система

М С М С М С

+ =

х г у г 200 г

Третий способ: можно решить данную задачу на основе подсчёта масс свинца.

  • Третий способ: можно решить данную задачу на основе подсчёта масс свинца.

  • Четвёртый способ: - таблица



Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора

II. Задачи на растворы
  • Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10% раствором и получили 600 г 15% раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

  • 1 способ: - алгебраический. Обозначим х массу первого раствора, тогда масса второго (600-х). Составим уравнение: 30х+10(600-х)=600∙15, х=150

  • 2 способ: - приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: 15х=5(600-х)



10х=25(140-х), х=100. 140-100=40. Ответ: 100т и 40т.

  • Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

  • С использованием графика: приравнивание

  • площадей равновеликих прямоугольников.



III. Задачи на смеси

III. Задачи на смеси
  • Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ.

  • У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен?

Вывод: дешёвого масла нужно

взять втрое больше чем дорогого,

т.е. для получения одного ведра

ценою 7 гривен нужно взять

дорогого масла ¼ ведра, а

дешёвого масла 3/4

Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмём 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10∙5+1/10∙8+1/10∙12=6 гривен.

  • Способ Л. Ф. Магницкого для трёх веществ.

  • Некто имеет чай трёх сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?



IV. Задача на смеси из трёх веществ:

IV. Задача на смеси из трёх веществ:
  • Имеется два сплава меди, никеля и железа, причем первый из них содержит 4% меди. Если сплавить их в равных количествах, получится сплав, содержащий 66% железа, а если взять 3 кг первого сплава и 7 кг второго, получится сплав, содержащий 0,4 кг меди. Определить процентное содержание никеля во втором сплаве, если известно, что оно в 2 раза выше, чем в первом сплаве.

  • Решение:

  • Пусть во втором сплаве массовая доля никеля равна x, а железа – у. Для решения задачи составим схему .



Составим и решим систему уравнений:



V. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений.

V. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений.
  • Фирма торгует компьютерами двух типов А и В. Каждый проданный компьютер типа А приносит ей 100 долларов прибыли, а компьютер типа В – 300 долларов. Спрос на компьютеры диктует следующие ограничения. Общее число компьютеров, проданных фирмой за день не превышает 10 штук, причем компьютеров В продаётся менее 50% от этого числа, но не более 2-х штук, а компьютеров А продаётся более 2-х штук. Определите максимальную ежедневную прибыль фирмы.

  • Решение

  • системой : х – компьютеры А, у – компьютеры В, S – прибыль.



Все отмеченные точки с целочисленными координатами являются решением четырёх последних неравенств, но нам нужно выбрать такую, координаты которой придают равенству S=100x+300y наибольшее значение. Можно выбрать такую точку, подставив последовательно координаты каждой. Точка (8;2) удовлетворяет данному условию. Итак, наибольшая прибыль S=1400 долларов.

  • Графический способ



Банк начисляет по вкладу р % за первый месяц и q % за второй. Поместив в банк некоторую сумму, вкладчик в конце первого месяца снял пятую часть всех имевшихся на счёте денег, а остальные оставил на второй месяц. При каком значении р сумма на счёте к концу второго месяца окажется максимальной, если известно, что р+q=30?

  • Банк начисляет по вкладу р % за первый месяц и q % за второй. Поместив в банк некоторую сумму, вкладчик в конце первого месяца снял пятую часть всех имевшихся на счёте денег, а остальные оставил на второй месяц. При каком значении р сумма на счёте к концу второго месяца окажется максимальной, если известно, что р+q=30?

  • Решение

  • введение 1: пусть 1 – сумма первоначального вклада,

1+0,01р – к концу первого месяца,

0,8(1+0,01р) – остаток,

0,8(1+0,01р)(1+0,01q) – сумма к концу второго месяца.

Т.к. q=30-р, то 0,8(1+0,01р)(1,3-0,01р)

р€[0;30] максимальное значение

данный квадратный трёхчлен

принимает при р=15.

Ответ: р=15

Ожидаемые результаты

Ожидаемые результаты

Автор проекта

  • Колесникова Вера Николаевна – учитель математики МОУ «Кужерская средняя (полная) общеобразовательная школа»

  • Год рождения - 14.09.1955.

  • Образование – МГПИ, 1978 г.

  • Педагогический стаж – 34 г.

  • Категория – I

  • Проблемная тема – «Организация исследовательской деятельности школьников на уроках математики» (2008/2012)



Литература



Творческих вам успехов!

Антуан Де Сент-Экзюпери
  • «При единении и малое растет, при раздоре и величайшее распадается».

  • Саллюстий Гай Крисп