uzluga.ru
добавить свой файл
1


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами


Свойства решений

  • Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка

  • y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = f(x), 

  • где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) — известные, непрерывные, справедливо:

    • если y1(x) и y2(x) — два решения неоднородного уравнения, то функция y(x) = y1(x) - y2(x) — решение соответствующего однородного уравнения;
    • если y1(x) решение неоднородного уравнения, а y2(x) — решение соответствующего однородного уравнения, то функция y(x)=y1(x)+y2(x) — решение неоднородного уравнения.


Общее решение

  • Если  y1(x), y2(x), ...,  yn(x) — n линейно независимых решений однородного уравнения, а yч(x) — произвольное решение неоднородного уравнения, то для любых начальных значений x0,  y0,   y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..., c*n, что решение y*(x)=c*1y1(x)+c*2y2(x)+...+c*nyn(x)+yч(x)

  • удовлетворяет при x = x0 начальным условиям.

  • Выражение 

  • y(x)=c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn (x) + yч(x)

  • называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.



Метод подбора решений

  • Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:

  • Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx),

  • где Pk(x), Qm(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.

  • Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем. Искомое решение уравнения записывается в виде:

  • (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs,

  • где Pr(x), Qr(x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0.



Резонанс

  • Сомножитель xs называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень l=a±ib  кратности s.

  • Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая — с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель xs. Если же такого совпадения нет (s=0),  то резонансный сомножитель отсутствует.



Алгоритм отыскания общего решения

  • Подставив выражение для частного решения  в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны.

  • Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx)  с одинаковыми степенями t.

  • Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.



Алгоритм

  • Для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует

    • найти общее решение соответствующего однородного уравнения
    • найти любое частное решение неоднородного уравнения (x);
    • записать выражение для общего решения y(x)= c1 y1(x) +  c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + (x).


Решение задачи Коши

  • Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c1,..., cn, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений 

  • c1 y1(x0) +  c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) + (x0)= y0,

  • c1 y'1(x0) +  c2 y'2(x0) + ... + cn y'n(x0)   + (x0)=y0,1,

  • ......... ,

  • c1 y1(n-1)(x0) +  c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)(x0) + (x0)= y0,n-1



Задание

  • y''' + 3y'' - 4y= 1- x2.

  • y''' + 3y''- 4y' = 1 + x - x2.

  • y''' + 3y''- 4y' = (1 + x)exp(-x).

  • y''' + 3y''- 4y' = (1 + x)exp(x).

  • y''' + y' = xsinx+3cosx, y(0)=1, y'(0)=2, y''(0)=0.



Задание

  • y'' + y'  = cos(x)+ x+ exp(x),   y(0) = 1, y'(0) = 0.

  • y'' - y' +2y = (1- cos(x))exp(x)

  • y(0)=- 1, y‘ (0)=0.

  • y'' + y' -3y = sh(3x), y(0) = 0, y'(0) = 1.

  • y'' +4 y'+4y =5, y(0) = 1, y'(0) = -2.

  • y'' + y'  = xcos(x) +sin(x),  y(0) = 1, y'(0)=1.