uzluga.ru
добавить свой файл
1


Плоскость и прямая в пространстве

  • Лекция 10


  • Определение. Уравнением поверхности в пространстве называется такое уравнение между переменными которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.



  • Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначают нормаль



Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку

  • Пусть точки и лежат на плоскости . Тогда и, значит, их скалярное произведение равно нулю:

  • это уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

  • .





общее уравнение плоскости

  • Из предыдущего уравнения легко получить общее уравнение плоскости



Частные случаи общего уравнения

  • 1.

  • плоскость проходит через начало координат.

  • 2.

  • плоскость параллельна оси OX.

  • 3.

  • плоскость параллельна плоскости XOY.

  • 4.

  • Плоскость проходит через ось OX.

  • 5.

  • плоскость является плоскостью XOY.

  • Остальные случаи рассмотреть самостоятельно.



Уравнение в отрезках

  • Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим на него все слагаемые

  • Введя соответствующие обозначения , имеем

  • .





Уравнение плоскости, проходящей через три точки

  • Пусть точки , ,

  • лежат на плоскости. Точка

  • - текущая точка плоскости.



  • Эти векторы компланарны, т.к. лежат в

  • одной плоскости. Следовательно их смешанное произведение равно нулю.

  • Получаем уравнение:



Уравнение плоскости, проходящей через три точки



Взаимное расположение плоскостей



Угол между плоскостями

  • Даны две плоскости и :

  • Тогда:



Условие перпендикулярности плоскостей

  • Если плоскости перпендикулярны друг к другу, то соответственно перпендикулярны их нормальные векторы



Условие параллельности плоскостей



Расстояние от точки до плоскости



Пример



Решение



Прямая в пространстве.





Канонические уравнения прямой.

  • -направляющий вектор

  • прямой, -точка прямой. Тогда



Параметрические уравнения (вывести самостоятельно)

  • t-переменный параметр.



Уравнение прямой, проходящей через две точки

  • Точки и

  • лежат на прямой. Вывод уравнения сделать самостоятельно.



Общее уравнение прямой

  • Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей





Пример



  • Сложив уравнения, получим

  • Тогда из второго уравнения

  • Точка на прямой А(1; -2; 0).



  • Найдем направляющий вектор этой прямой:

  • Получим канонические уравнения прямой



Взаимное расположение прямых в пространстве



Угол между прямыми

  • Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами



Параллельность прямых

  • Если то



Перпендикулярность прямых

  • Если то



Взаимное расположение прямой и плоскости



Угол между прямой и плоскостью



  • Углом между прямой и плоскостью

  • называется угол между прямой и ее

  • ортогональной проекцией на плоскость



Угол между прямой и плоскостью

  • -нормаль плоскости П,

  • -направляющий вектор прямой .



Условие параллельности прямой и плоскости

  • Если то



Условие перпендикулярности прямой и плоскости

  • Если то



Точка пересечения прямой и плоскости

  • Пусть требуется найти точку пересечения прямой

  • и плоскости

  • Запишем параметрические уравнения прямой

  • и подставим выражения для х, у, z в уравнение плоскости.



  • Получим уравнение вида

  • относительно параметра t. Выразив t из этого уравнения и подставив в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости.



  • Замечание. Если уравнение относительно t примет вид 0t = 0 (то есть M = N = 0), то любое действительное значение t будет его решением, значит, прямая и плоскость имеют множество общих точек, то есть прямая лежит в плоскости.



Пример

  • Найти точку пересечения прямой

  • и плоскости



Пример

  • Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;2;0) и В(2;1;1) перпендикулярно заданной плоскости –х+у-1=0.



Пример

  • Показать, что прямая

  • лежит в плоскости

  • Решение. Используем параметрические уравнения прямой



  • Подставим в уравнение плоскости: -

  • Получили равенство, верное при любых Следовательно, прямая лежит в плоскости.



Пример

  • Найти уравнение перпендикуляра к плоскости

  • ,

  • проходящего через точку А(2;-1:3), и определить координаты основания этого перпендикуляра.