uzluga.ru
добавить свой файл
1


Лекция № 11


Линейная фильтрация



Для устранения вредного влияния шума на полезный сигнал можно применить частотно-избирательный линейный стационарный фильтр. Действительно, пусть сигнал обладает узкополосным энергетическим спектром, сосредоточенным в районе центральной частоты , а спектральная плотность мощности шума занимает более широкую полосу частот.

  • Для устранения вредного влияния шума на полезный сигнал можно применить частотно-избирательный линейный стационарный фильтр. Действительно, пусть сигнал обладает узкополосным энергетическим спектром, сосредоточенным в районе центральной частоты , а спектральная плотность мощности шума занимает более широкую полосу частот.

  • Тогда фильтр, модуль частотного коэффициента передачи которого большой и равномерный в области сосредоточения энергетического спектра сигнала и мал на остальных частотах, будет заметно увеличивать относительную долю сигнала в результирующем колебании на выходе такого фильтра.



Положим, что на входе фильтра действует аддитивная смесь полезного сигнала и шума :

  • Положим, что на входе фильтра действует аддитивная смесь полезного сигнала и шума :

  • Кроме того, пусть сигнал и шум представляют собой некоррелированные и стационарные в широком смысле процессы, у которых средние значения равны нулю.

  • В таком случае интенсивность колебаний на входе фильтра будем характеризовать значением среднего квадрата (средней мощности):



Однако ввиду некоррелированности сигналов и третье слагаемое

  • Однако ввиду некоррелированности сигналов и третье слагаемое

  • поэтому средний квадрат входного сигнала равен сумме средних квадратов полезного сигнала и шума:

  • где - дисперсия шума на входе фильтра.



Следовательно, относительный уровень полезного сигнала по сравнению с шумом

  • Следовательно, относительный уровень полезного сигнала по сравнению с шумом

  • на входе фильтра можно охарактеризовать так называемым отношением сигнал/шум

  • Поскольку процессы и стационарные, то их средние квадраты не зависят от времени и отношение сигнал/шум представляет собой безразмерное число. Отношение сигнал/шум можно выразить и в логарифмических единицах (децибелах):



Поскольку линейный фильтр удовлетворяет принципу суперпозиции, то на выходе получим колебание , также представляющее собой аддитивную смесь преобразованных фильтром независимо полезного сигнала

  • Поскольку линейный фильтр удовлетворяет принципу суперпозиции, то на выходе получим колебание , также представляющее собой аддитивную смесь преобразованных фильтром независимо полезного сигнала

  • и шума :



Как следует из теории вероятностей, в этом случае и также будут некоррелированы и поэтому средний квадрат выходного колебания

  • Как следует из теории вероятностей, в этом случае и также будут некоррелированы и поэтому средний квадрат выходного колебания

  • Далее так же, как и на входе фильтра, можно определить отношение сигнал/шум на выходе фильтра:

  • или в логарифмических единицах



Введем в рассмотрение величин

  • Введем в рассмотрение величин

  • которая носит название выигрыша фильтра по отношению сигнал/шум. Выигрыш фильтра также можно выразить в децибелах:

  • Ясно, что положительный результат от воздействия фильтра на входное колебание будет лишь в том случае, если или



Рассмотрим широко используемую в радиотехнике математическую модель узкополосного сигнала:

  • Рассмотрим широко используемую в радиотехнике математическую модель узкополосного сигнала:

  • где амплитуда; - частота и - начальная фаза гармонической компоненты сигнала.



Найдем среднюю мощность этого сигнала, проведя усреднение по времени:

  • Найдем среднюю мощность этого сигнала, проведя усреднение по времени:

  • Если такой сигнал проходит через линейный фильтр с частотным коэффициентом передачи

  • , то средняя мощность сигнала на выходе



Используя понятие одностороннего спектра мощности стационарного случайного процесса, для дисперсии шума можем записать:

  • Используя понятие одностороннего спектра мощности стационарного случайного процесса, для дисперсии шума можем записать:

  • Тогда дисперсия шума на выходе фильтра



Выражение для отношения сигнал/шум на выходе фильтра:

  • Выражение для отношения сигнал/шум на выходе фильтра:



Зная спектры сигнала и шума с помощью этой формулы можно подобрать АЧХ

  • Зная спектры сигнала и шума с помощью этой формулы можно подобрать АЧХ

  • линейного стационарного фильтра таким образом, чтобы получить требуемый выигрыш

  • фильтра по отношению сигнал/шум. При этом следует иметь в виду, что и сам полезный сигнал при прохождении через фильтр претерпевает определенные изменения. Поэтому фильтр необходимо подбирать таким образом, чтобы достичь требуемого значения

  • и не допустить существенных искажений сигнала.

  • Конкретные требования как к значению выигрыша , так и к допустимому уровню искажений полезного сигнала фильтром зависят от назначения конкретной радиосистемы.



  • Линейная оптимальная фильтрация по критерию максимума отношения сигнал/шум



Если линейный фильтр в соответствии с заданным критерием обрабатывает аддитивную смесь сигнала и шума наилучшим образом, то такой линейный фильтр называется оптимальным. Далее рассмотрим оптимальную линейную фильтрацию сигналов известной формы.

  • Если линейный фильтр в соответствии с заданным критерием обрабатывает аддитивную смесь сигнала и шума наилучшим образом, то такой линейный фильтр называется оптимальным. Далее рассмотрим оптимальную линейную фильтрацию сигналов известной формы.

  • Такая ситуация характерна для радиолокации, где принятый сигнал является точной масштабной копией переданного сигнала.



Пусть на вход линейного стационарного фильтра с импульсной характеристикой

  • Пусть на вход линейного стационарного фильтра с импульсной характеристикой

  • воздействует сумма полезного сигнала

  • и шума. На выходе линейного фильтра полезный сигнал создает отклик

  • Попытаемся отыскать такую импульсную характеристику , чтобы величина

  • определяемая значением отклика фильтра в точке t0, достигала максимально возможного значения. Фильтр с такой импульсной характеристикой называется согласованным с заданным входным сигналом или кратко согласованным фильтром.



Таким образом, необходимо отыскать такую импульсную характеристику , чтобы отклик на выходе в момент времени t0 достигал максимально возможного значения по модулю.

  • Таким образом, необходимо отыскать такую импульсную характеристику , чтобы отклик на выходе в момент времени t0 достигал максимально возможного значения по модулю.

  • (1)

  • Применим к правой части выражения известное неравенство Шварца-Буняковского в интегральной форме:



Получим:

  • Получим:

  • Знак равенства в выражении достигается в том случае, когда подынтегральные функции пропорциональны друг другу, т.е.

  • (2)

  • Тогда, используя в выражении (2) замену переменной , получаем, что модуль правой части выражения (1) достигнет максимума при



Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию входного сигнала, расположенную в зеркальном порядке на оси времени

  • Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию входного сигнала, расположенную в зеркальном порядке на оси времени



Как видно из рис., чтобы импульсная характеристика удовлетворяла условию физической реализуемости, т.е.

  • Как видно из рис., чтобы импульсная характеристика удовлетворяла условию физической реализуемости, т.е.

  • при ,необходимо, чтобы выполнялось неравенство .

  • Применяя преобразование Фурье к обеим частям соотношения (2), находим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра

  • (3)



Таким образом, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала , для выделения которого из шума и предназначен фильтр.

  • Таким образом, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала , для выделения которого из шума и предназначен фильтр.

  • В формуле (3) коэффициент

  • определяет уровень усиления фильтра, а множитель определяет смещение отклика фильтра по оси времени на время

  • .



Особенностью согласованного фильтра является то, что при формировании отклика на своем выходе им используется как информация об амплитудно-частотном спектре входного сигнала, так и его фазово-частотный спектр. Фильтр с малым ослаблением должен пропускать лишь гармонические компоненты, частоты которых расположены в области, где спектральная плотность полезного сигнала отличается от нуля.

  • Особенностью согласованного фильтра является то, что при формировании отклика на своем выходе им используется как информация об амплитудно-частотном спектре входного сигнала, так и его фазово-частотный спектр. Фильтр с малым ослаблением должен пропускать лишь гармонические компоненты, частоты которых расположены в области, где спектральная плотность полезного сигнала отличается от нуля.

  • Кроме того, фильтр выполняет коррекцию фазовых сдвигов гармонических составляющих входного сигнала таким образом, что в момент все эти гармонические составляющие складываются на выходе когерентно, имея одни и те же фазовые сдвиги.



Тем самым отклик на выходе фильтра в момент достигает максимально возможного уровня

  • Тем самым отклик на выходе фильтра в момент достигает максимально возможного уровня

  • (4)

  • где энергия полезного выделяемого сигнала .

  • Из выражения (4) следует, что максимальное значение отклика согласованного фильтра не зависит от формы сигнала, а определяется его энергией.



Найдем отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определяемое как отношение пикового значения мощности выходного сигнала в момент к средней мощности выходного шума:

  • Найдем отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определяемое как отношение пикового значения мощности выходного сигнала в момент к средней мощности выходного шума:



Для определенности положим, что шум

  • Для определенности положим, что шум

  • представляет собой стационарный белый гауссов шум с равномерным спектром мощности уровня на всей числовой оси. В этом случае дисперсия шума на выходе



Тогда, учитывая полученный результат и формулу (4), находим:

  • Тогда, учитывая полученный результат и формулу (4), находим:

  • Таким образом, согласованный фильтр обеспечивает на выходе максимально достижимое отношение сигнал/шум и в этом смысле он является оптимальным.



Перейдем теперь к вопросам синтеза согласованных фильтров. Для этого рассмотрим конкретный пример построения согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса.

  • Перейдем теперь к вопросам синтеза согласованных фильтров. Для этого рассмотрим конкретный пример построения согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса.



Положим, что импульс возникает в момент времени , имеет длительность и амплитуду . Найдем спектральную плотность такого сигнала:

  • Положим, что импульс возникает в момент времени , имеет длительность и амплитуду . Найдем спектральную плотность такого сигнала:

  • (5)

  • Найдем частотный коэффициент передачи фильтра в предположении, что на его выходе максимум отклика достигает в момент

  • , т.е. . В соответствии с формулой (3) и с учетом (5), находим:

  • (6)



Выражение (6) позволяет синтезировать искомый согласованный фильтр. Он состоит из идеального видео усилителя с коэффициентом усиления , интегратора, которому в частной области соответствует умножение на , линии задержки на время

  • Выражение (6) позволяет синтезировать искомый согласованный фильтр. Он состоит из идеального видео усилителя с коэффициентом усиления , интегратора, которому в частной области соответствует умножение на , линии задержки на время

  • и вычитающего устройства. На вычитающее устройство в соответствии с формулой (6) подается напряжение по двум каналам: непосредственно с интегратора и через линию задержки. На выходе согласованного фильтра получаем сигнал треугольной формы высотой и длительностью :

  • где энергия прямоугольного видеоимпульса .



Согласованный фильтр



Рассмотрим простую интегрирующую RC- цепочку с импульсной характеристикой

  • Рассмотрим простую интегрирующую RC- цепочку с импульсной характеристикой

  • где постоянная времени цепи. Пусть на вход такой цепи воздействует сумма полезного сигнала в виде прямоугольного видеоимпульса и гауссов белый шум со спектральной плотностью мощности . В этом случае отклик на воздействие полезного сигнала достигает максимума при . Таким образом, находим:



Частотный коэффициент передачи интегрирующей RC-цепи

  • Частотный коэффициент передачи интегрирующей RC-цепи

  • Дисперсия шума на выходе будет:

  • Отсюда максимальное значение отношения сигнал/шум на выходе RC-цепи

  • (7)



Как следует из предыдущих результатов, первый сомножитель правой части соотношения (7) равен максимальному отношению сигнал/шум на выходе согласованного фильтра, а второй сомножитель

  • Как следует из предыдущих результатов, первый сомножитель правой части соотношения (7) равен максимальному отношению сигнал/шум на выходе согласованного фильтра, а второй сомножитель

  • характеризует проигрыш в отношении сигнал/шум интегрирующей RC-цепи по сравнению с согласованным фильтром. Второй сомножитель достигает максимума при , равного 0,814.



Таким образом, при соответствующем выборе постоянной времени RC-цепи получим, что интегрирующая RC-цепь при фильтрации прямоугольного видеоимпульса на фоне шума проигрывает в эффективности (в смысле отношения сигнал/шум на выходе) всего лишь на 18,6 %.

  • Таким образом, при соответствующем выборе постоянной времени RC-цепи получим, что интегрирующая RC-цепь при фильтрации прямоугольного видеоимпульса на фоне шума проигрывает в эффективности (в смысле отношения сигнал/шум на выходе) всего лишь на 18,6 %.

  • Именно RC-цепь с такими характеристиками и будет квазиоптимальным согласованным фильтром для прямоугольного видеоимпульса.