uzluga.ru
добавить свой файл
1


Ряды Фурье

  • Лекции 15, 16


Определение ортогональной системы функций

  • Тригонометрическая система функций

  • называется ортогональной на отрезке [-,] и на всяком отрезке длины 2 тоже в том смысле, что интеграл по этому отрезку от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а от одинаковых-π .



Примеры

  • Рассмотрим несколько примеров таких интегралов.

  • в силу нечетности подынтегральной функции.



Определение ряда Фурье

  • Тригонометрический ряд

  • ,

  • коэффициенты которого вычислены по формулам Фурье, т. е.

  • называется рядом Фурье периодической с периодом 2π функции.



Определение кусочно-монотонной функции

  • Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a,b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы, в каждом из которых функция монотонна.

  • Примеры кусочно-монотонных функций:1) , 2)sinx, 3)cosx .



Достаточный признак сходимости ряда Фурье

  • Если периодическая с периодом 2 функция 1) кусочно-монотонна, 2) непрерывна на отрезке [-,] или имеет на нем конечное число точек разрыва 1-го рода, то ряд Фурье этой функции сходится во всех точках этого отрезка. Сумма полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в точках непрерывности функции, а в точках ее разрыва сумма ряда равна полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции, т.е., если x = cточка разрыва, то

  • .



Разложение в ряды Фурье четных функций

  • Если f(x) –четная функция, то функции

  • являются нечетными, а функции -четными при любых п=1,2,…. Тогда в силу свойства определенного интеграла :

  • , если f(x) – нечетна, и

  • , если f(x) – четна



Продолжение

  • получим

  • Тогда имеем: ,

  • где

  • для четной функции.



Ряд Фурье нечетной функции

  • Если функция f(x) является нечетной и периодической с периодом 2π , то ее ряд Фурье имеет вид:

  • ,

  • где коэффициенты



Ряд Фурье периодической с периодом 2l функции

  • Если функция f(x) имеет период 2l , где l-любое число, большее нуля, то ее ряд Фурье можно получить из ряда Фурье периодической с периодом 2 π функции, положив . Тогда

  • функция имеет период 2 π. В самом деле:



Продолжение

  • Разложим в ряд Функцию , а затем вернемся к старой переменной. Имеем

  • , где

  • ,

  • ,



Ряд Фурье четной функции

  • Аналогично тому, как получается ряд Фурье периодической с периодом 2π функции, можно получить ряд функции с периодом 2l. Тогда имеем следующие формулы: , где



Ряд Фурье нечетной функции

  • Если функция является нечетной, то ее ряд Фурье является рядом по синусам и его можно записать в следующем виде:

  • , где



Разложение в ряд Фурье непериодических функций

  • Если функция не является периодической, то эту функцию доопределяют до периодической. Затем получившуюся периодическую функцию раскладывают в ряд Фурье, который будет сходиться к функции f(x) на промежутке, где задана эта функция, если, конечно, она удовлетворяет условиям достаточного признака сходимости ряда Фурье. При этом доопределить функцию до периодической можно различными способами. В частности, ее можно доопределить как четную или как нечетную.

  • Как это можно сделать, рассмотрим на конкретном примере.



Пример разложения функции в ряд Фурье

  • 1).Разложить функцию у=х в ряд Фурье а) по синусам и б) по косинусам. Доопределим функцию до периодической нечетным образом.



Решение

  • Тогда , где

  • Вычислим интеграл по частям:



Продолжение

  • Таким образом, , а

  • , где или



Продолжение

  • Доопределим теперь f(x) до периодической функции четным образом. Тогда .



Продолжение

  • При четном n выражение в скобках равно нулю и, значит, , а при – нечетном, т.е. при ,

  • . Тогда

  • Мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке (0,).