uzluga.ru
добавить свой файл


Количественные характеристики случайных переменных

  • Математическое ожидание (среднее значение)

  • Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

  • Ковариация и коэффициент корреляции.


Математическое ожидание дискретной случайной переменной



Дисперсия дискретной случайной переменной



Примеры расчета количественных характеристик ДСП



Математическое ожидание непрерывной случайной переменной



Дисперсия непрерывной случайной переменной



Примеры вычисления



Понятие ковариации двух случайных переменных



Понятие коэффициента корреляции двух случайных переменных



Основные свойства количественных характеристик

  • Свойства математического ожидания.

  • M(c) = c

  • M(c1x1 + c2x2) = c1x1 + c2x2

  • Пример. M(Y) = M(f(X) + ε)= M(f(X))+M(ε)=M(f(X))

  • Свойства дисперсий.

  • σ2(с) = 0

  • σ2(с +x) = σ2(x)

  • σ2(c1x1+c2x2)=c1σ2(x1) +c2σ2(x2) +2c1c2Cov(x1x2)

  • В общем случае:

  • σ2(Σсixi)= cTCov(XX)c



Основные свойства количественных характеристик

  • Свойства ковариаций.

  • Cov(x,y) = Cov(y,x)

  • Cov(c1x1 + c2x2)=c1c2Cov(x1,x2)

  • Cov(cx) 0

  • Cov(x+c,y) = Cov(x,y)

  • Cov(x+y,z) = Cov(x,z) + Cov(y,z)

  • Cov(x,x) = σ2(x)

  • Доказательства этих свойств проведите самостоятельно!





Связь между случайными переменными

  • Случайный вектор и его количественные характеристики.

  • Пусть mi = M(r(ai)) – ожидаемое значение доходности актива ai,

  • σi2 = M(r(ai) - mi )2 –дисперсия доходности актива ai,

  • σij =Cov(r(ai), r(aj)) - ковариация между активами ai, aj.

  • Тогда вектор

  • M={m1, m2,…,mn}T=M(R) (4.2)

  • является первой основной характеристикой случайного вектора (4.1).

  • Замечание. Вектор М является константой.

  • Ковариационная матрица вида:



Связь между случайными переменными

  • Параметрическая модель Марковца фондового рынка.

  • По предложению Марковца компоненты вектора R рассматривается как характеристики привлекательности каждого рискового актива, а диагональные элементы ковариационной матрицы – как характеристики риска инвестирования в эти активы.

  • Параметрической моделью Марковца называется следующая тройка:

  • {A, M, σrr} (4.4)

  • Для формирования индивидуального пакета акций из списка А ничего больше не требуется.

  • Эта модель является инструментом брокерской деятельности.



Выборка и ее свойства

  • Задачи математической статистики.

  • 1.Оценивание (приближенное определение) параметров законов распределения и самих законов.

  • 2. Проверка различных гипотез относительно законов распределения или значений их параметров.

  • Далее будем рассматривать случайные величины с законом распределения R(t,a1,a2,…,an), где A={a1,a2,…,an}T вектор столбец параметров распределения.



Выборка и ее свойства

  • Определение. Выборка – это случайный вектор, составленный из результатов наблюдений, каждое из которых суть случайная величина.

  • Y={y1,y2,…,yn}

  • y1 = t1; Py(t1, a1,a2,…,ak);

  • y2 = t2; Py(t2, a1,a2,…,ak);

  • …………………………………..

  • yn = tn; Py(tn, a1,a2,…,ak);



Выборка и ее свойства

  • Свойства случайной выборки.

  • Каждый элемент выборки есть случайная величина с тем же законом распределения, что и случайная величина Y.

  • Все значения, входящие в выборку независимые величины.

  • Тогда для них справедлива теорема умножения вероятностей:

  • Py(y1,y2,…,ynA)=Py(t1, A) Py(t2, A)… Py(tn, A)

  • Это выражение – закон распределения выборки.

  • Задача заключается в том, чтобы найти процедуры, с помощью которых можно найти значения параметров распределения.

  • A = F(y1,y2,…,yn)



Свойства оценок параметров распределения.

  • 1.Оценка представляет собой частный случай случайной величины.

  • Например. Рассмотрим оценку математического ожидания в виде среднего значения:



Свойства оценок параметров распределения.

  • Несмещенность оценки.

  • М(ã) = а

  • Процедуры, которые дают такие оценки будим называть несмещенными.

  • Замечание. Несмещенных процедур может быть много.

  • Пример. Оценка среднего значения. X=1/nΣxi

  • Эта процедура несмещенная т.к.

  • М(Х)=М(μ+U)=M(μ)+M(U) = μ

  • Вопрос. Можно ли найти иную несмещенную процедуру?

  • Пусть имеем выборку из двух значений x1 и x2, следовательно: M(x1)=M(x2)=μ b σ(x1)=σ(x2)=σ

  • Пусть такой процедурой будет: Z=λ1x1+λ2x2

  • M(Z) = M(λ1x1+λ2x2)=(λ1+λ2)μ

  • Вывод. Все процедуры, для которых λ1+λ2=1 дают несмещенные оценки среднего значения.



Свойства оценок параметров распределения.

  • 2. Эффективность оценки.

  • Определение. Оценка называется эффективной среди всех оценок параметра, если она имеет минимальную дисперсию среди всех возможных оценок: σ2(ã) =min.

  • Задача. При каких значениях λ1 и λ2 оценка среднего значения будет эффективной?

  • Найдем минимум дисперсии Z.

  • σ2(Z)=σ2(λ1x1+λ2x2)= λ12σ2(x1)+λ22 σ2(x2)=(λ12+λ22)σ2

  • Учитывая, что (λ1+λ2)=1 или λ2= (1-λ1), получим:

  • σ2(Z)= (λ12+(1-λ12)) σ2

  • Тогда: ∂ σ2/∂λ1 =(2λ1-2(1-λ1)) σ2

  • Откуда λ1=1/2.

  • Вторая производная положительна, следовательно, это минимум.

  • Аналогичным образом можно показать, что известная оценка дисперсии также не смещена и эффективна.