uzluga.ru
добавить свой файл


Квадратные уравнения

Способы решения.

Квадратные уравнения

Необходимость решать уравнения  не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры в Вавилоне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их  книгописных текстах  встречаются, кроме неполных, и такие, как полные квадратные уравнения.

Определение

Уравнение вида ax²+bx+c=0, где a, b, c - действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то    квадратное  уравнение    называют приведенным;

если a ≠ 1, то    неприведенным .  Числа a, b, c носят следующие названия: a -первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.

Корни уравнения ax²+bx+c=0 находят по формуле

   Выражение D = b²- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней;

 если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень;

 если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.  

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение  имеет два одинаковых корня.

 

 



Формулы.



Полное квадратное уравнение



Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.  

Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Способы решения неполных квадратных уравнений:

1)  c = 0 , то уравнение примет вид  

ax²+bx=0.                  

 x( ax + b ) = 0 ,

 x = 0 или ax + b = 0 ,        x = -b : a .

2) b = 0, то уравнение примет вид

ax² + c = 0 ,

x² = -c : a ,

x1 = или x2 = -

3) b = 0 и c = 0 , то уравнение примет вид

ax² = 0,

x =0.  

Решение неполного квадратного уравнения



Квадратные уравнения с комплексными переменными



Решение квадратных уравнений с помощью графиков.



Решение задач с помощью кв. уравнений.



Практикум



Заключение

Ещё в древности люди пользовались ими не зная, что это –квадратные уравнения.

В наше время невозможно представить себе решение как простейших , так и сложных задач не только в математике, но и в других точных науках , без применения решения квадратных уравнений.

Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь новое.