uzluga.ru
добавить свой файл
1











В 1543 году Кардано и Феррари поехали в Болонью, где дела Наве позволил им познакомиться с бумагами покойного дель Ферро. Там они убедились, что последнему уже было известно правило Тартальи.

  • В 1543 году Кардано и Феррари поехали в Болонью, где дела Наве позволил им познакомиться с бумагами покойного дель Ферро. Там они убедились, что последнему уже было известно правило Тартальи.

  • К 1543 году Кардано научился решать не только уравнения (1) и (2), но и уравнения х3 + b = ax (3) , а также «полное» кубическое уравнение, т.е. уравнение, содержащие член с х2. К тому же времени Феррари придумал, как решать уравнения четвертой степени.



«Великое искусство»













Экстремумы многочлена третьей степени

  • у = ах2 + bх + с (1) ( ).



Корень квадратного трехчлена является его точкой экстремума тогда и только тогда, когда этот корень – двукратный.

  • Корень квадратного трехчлена является его точкой экстремума тогда и только тогда, когда этот корень – двукратный.



Теорема 1.

  • Теорема 1.

  • Для того, чтобы точка х= была точкой экстремума функции у = ах2+bх +с, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число m, при котором многочлен ах2+ bх + с– m имеет двукратный корень х = .



Лемма. Пусть дан многочлен третьей степени у = ах3 + bx2 + сх + d. ( ), и пусть х = - его действительный корень. Тогда у = ах3 + bx2 + сх + d =

  • Лемма. Пусть дан многочлен третьей степени у = ах3 + bx2 + сх + d. ( ), и пусть х = - его действительный корень. Тогда у = ах3 + bx2 + сх + d =

  • (х - )( , (3) где p и qнекоторые действительные числа.



Теорема 2.

  • Теорема 2.

  • Для того чтобы точка х = была точкой экстремума функции

  • у = ах3 + bx2 + сх + d, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число m, при котором многочлен P(x) = ах3 + bx2 + сх + d – m имеет двукратный корень х = , то есть P(x)= a (4)

  • где .



Теорема 3.(достаточные условия максимума и минимума).

  • Теорема 3.(достаточные условия максимума и минимума).

  • Пусть функция у = ах3 + bx2 + сх + d имеет экстремум в точке х = и m – значение функции в точке х = . Представим многочлен P(x) = ах3 + bx2 + сх + d – m в виде (4). Тогда, если >0, то х = - точка максимума; если <0, то

  • х = - точка минимума.





Выводы

  • В процессе работы мы познакомились с историей развития проблемы решения уравнения третьей степени.

  • Теоретическая значимость полученных результатов заключается в том, что осознано место формулы Кардано в решении некоторых уравнений третьей степени.

  • Мы убедились в том, что формула решения уравнений третьей степени существует, но она не популярна из-за ее громоздкости и не очень надежна, т.к. не всегда достигает конечного результата.

  • Т.к. очень часто приходиться исследовать на экстремумы функции в правой части которой многочлен третьей степени, то большое практическое значение имеет алгоритм нахождения экстремумов многочлена третьей степени, который рассмотрен в работе.



Направления дальнейшего исследования

  • В дальнейшем можно рассматривать такие вопросы:

  • как узнать заранее, какие корни имеет уравнение третьей степени,

  • можно ли кубическое уравнение решить графическим способом, если можно, то как;

  • как оценить приближенно корни кубического уравнения;

  • как построить график кубического четырехчленна.