uzluga.ru
добавить свой файл


Вписанные углы

  • Что знаем об углах


  • Рассмотрим рисунок. На нем изображены окружность и углы.

  • Вопросы

  • - Как эти углы связаны с данной окружностью?

  • - Чем они отличаются?

  • - Какой из данных углов можно назвать: а) центральным; б) вписанным?



Определение

  • Определение.

  • Угол с вершиной в центре окружности называется центральным.

  • Определение.

  • Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.



Элементы

  • Центр окружности –

    • точка О
  • Вершина угла –

    • точка В
  • Стороны угла –

    • лучи ВА и ВС
  • Угол опирается на дугу АС





Теорема о вписанном угле I

  • Дано:

  • окр(O,R)

    • АВС – вписанный угол
    • АOС-центральный
    • Т.О € AB
  • Доказать:

    • АВС = ½  АOС
  • Доказательство:

    • 1.BОC – равнобедренный,
    • так как ОВ = ОC = R, значит,  В =  C.
    • 2. СОА – внешний угол, следовательно,
    •  СОА =  ОВА +  ОCВ
    •  СОА = 2  ОВC, значит,
    •  ОВC = ½  СОА
    •  СВА = ½  АOС.


Теорема о вписанном угле II

  • Дано:

  • окр(O,R)

    • АOС-центральный
    • АВС – вписанный угол
    • Т.О внутри  АBС
  • Доказать:

    • АВС = ½  АOС
  • Доказательство:

  • Проведем диаметр ВD

  • Рассмотрим углы АВD и DBC.

  • По доказанному (I)

  • ABD= ½  AOD,

  • DBC= ½  DOC.

  • Сложим полученные равенства.

  • Получим  ABC = ½  AOC.



Теорема о вписанном угле III

  • Дано:

  • окр(O,R)

    • АВС – вписанный угол
    • АOС-центральный
    • Т.О вне  АBС
  • Доказать:

    • АВС = ½  АOС
  • Доказательство:

  • Проведем диаметр ВD

  • Рассмотрим углы АВD и DBC.

  • По доказанному (I)

  • DBC= ½  DOC.

  • ABD= ½  AOD,

  • Вычтем из I равенства II.

  • Получим  ABC = ½  AOC.



Следствие Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

  • Дано:

  • окр(O,R)

    • АВС – вписанный угол
    • АDС-вписанный угол
  • Доказать:

    • АВС =  АDС
  • Доказательство:

    • АВС и АDС- вписанные углы, опираются на одну и ту же дугу AB, то у них один и тот же центральный угол AOB.
  • . По доказанной теореме

  • ABC = ½  AOC.

  • ADC = ½  AOC.

  • Значит.

  • АВС =АDС

  • ,



  • - Есть ли на рисунке равные углы?



  • АВС = 90,

    • так как он опирается на развёрнутый угол, градусная мера которого равна 180.


Задача №1

  • Дано:

    •  АОС = 80.
  • Найти:

    •  АВС = ?
    • Ответ: 40.


Задача №2

  • Дано:

    •  АВС = 34°.
  • Найти:

    • АОС = ?


Задача №3

  • Дано:

    • АВС = 54.
  • Найти:

    • АКС = ?
    • Ответ: 54.








Задание на дом

  • 1. Выучить теорию (п. 35 учебника).

  • 2. Решить задачи.

  • 1) Под каким углом из точки дуги видна стягивающая ее хорда, если дуга составляет: а) 40; б) 154;

  • в) окружности?

  • №6,11, 7б,18



Я всё понял !!!