uzluga.ru
добавить свой файл
1



Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры

  • Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры



Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а.

  • Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а.



Введём прямоугольную систему координат 0xyz так, чтобы ось 0z совпала с осью симметрии, и установим связь между координатами точек M (x; y; z) и M1(x 1; y 1; z 1), симметричных относительно оси 0z.

  • Введём прямоугольную систему координат 0xyz так, чтобы ось 0z совпала с осью симметрии, и установим связь между координатами точек M (x; y; z) и M1(x 1; y 1; z 1), симметричных относительно оси 0z.



Если точка М не лежит на оси 0z, то есть 0z: 1) проходит через середину отрезка ММ1. По формулам координат середины отрезка: x+x1 y+y1 2 2 Откуда х1=x, y1=y

  • Если точка М не лежит на оси 0z, то есть 0z: 1) проходит через середину отрезка ММ1. По формулам координат середины отрезка: x+x1 y+y1 2 2 Откуда х1=x, y1=y



2) Если 0z перпендикулярна к отрезку ММ1(т.к. точка М не лежит на оси 0z) это означает, что аппликаты точек М и М1 равны: z1=z

  • 2) Если 0z перпендикулярна к отрезку ММ1(т.к. точка М не лежит на оси 0z) это означает, что аппликаты точек М и М1 равны: z1=z





Рассмотрим теперь любые две точки A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А1 и В1 равно АВ.

  • Рассмотрим теперь любые две точки A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2) и докажем, что расстояние между симметричными им точками А1 и В1 равно АВ.



Точки А1 и В1 имеют координаты A1(-x1; -y1; -z1) и B1(-x2; -y2; -z2). По формуле расстояния между двумя точками находим:

  • Точки А1 и В1 имеют координаты A1(-x1; -y1; -z1) и B1(-x2; -y2; -z2). По формуле расстояния между двумя точками находим:

  • AB=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2 ,

  • A1B1=√(-x2+x1)2+(-y2+y1)2+(-z2+z1)2



что и требовалось доказать.

  • что и требовалось доказать.



У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена



Равнобедренный(но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии. а равносторонний треугольник - три основные симметрии.

  • Равнобедренный(но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии. а равносторонний треугольник - три основные симметрии.



Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии.

  • Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии.



У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

  • У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.



Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.



Многогранник обладающий зеркально осевой

  • Многогранник обладающий зеркально осевой

  • симметрией прямая

  • АВ зеркально

  • поворотная ось

  • четвёртого порядка





Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости α) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости α точку М1.

  • Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости α) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей относительно плоскости α точку М1.



Докажем, что зеркальная симметрия является движением.

  • Докажем, что зеркальная симметрия является движением.

  • Введём прямоугольную систему координат 0xyz так, чтобы плоскость 0xy совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами двух точек:

  • М(x; y; z) и M1(x1; y1; z1) симметрично относительно плоскости 0xy.



Если точка М не лежит в плоскости 0xy, то эта плоскость:

  • Если точка М не лежит в плоскости 0xy, то эта плоскость:

  • 1) Проходит через середину отрезка ММ1 и по формуле координат середины отрезка

  • z+z1

  • 2

  • 2) перпендикулярна к нему. Означает, что отрезок ММ1 параллелен оси 0z и, следовательно x1=x, y1=y.



Полученные формулы верны лишь, когда М лежит в плоскости 0xy.

  • Полученные формулы верны лишь, когда М лежит в плоскости 0xy.



Рассмотрим точки A(x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2) и докажем, что расстояния между симметричными им точками A1B1 равно АВ.

  • Рассмотрим точки A(x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2) и докажем, что расстояния между симметричными им точками A1B1 равно АВ.



Точки А1 и В1 имеют координаты

  • Точки А1 и В1 имеют координаты

  • A1(x1; y1; -z1) и B2(x2; y2; -z2) .

  • По формуле расстояния между двумя точкам находим:

  • AB= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

  • A1B1= (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2

  • Из этих соотношений ясно, что АВ=A1B1, что и требовалось доказать.



Примеры зеркальной симметрии:

  • Примеры зеркальной симметрии: