§17. Геодезические линии.
Пусть
- гладкая поверхность, кривая

называется
геодезической, если в каждой ее точке геодезическая кривизна

.

, то есть

параллельна соприкасающейся плоскости кривой

соприкасающейся плоскости кривой

. Итак, мы получили критерий геодезической линии
Предложение. Кривая

- геодезическая тогда и только тогда, когда в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности.
Пример. Большие окружности сферы являются геодезическими на ней.
Теорема. Пусть

- гладкая поверхность. Через любую точку

по каждому направлению на поверхности в достаточно малой окрестности проходит единственная геодезическая.
Пусть

. Кривая

- геодезическая

его координаты равны нулю.

Это дифференциальные уравнения геодезических. Из теории дифференциальных уравнений мы знаем, что при данных начальных условиях

,

,

эта система имеет единственное решение

. Геометрический смысл пары чисел

- координаты начальной точки
геодезической,

- направление касательного вектора к геодезической в точке

.
Замечание. Пусть

и

содержится в некоторой прямой, то в любой точке

кривизна этой лини
и равна нулю,
следовательно,

, то есть

- геодезическая на поверхности

.
Следствие. На плоскости все прямые являются геодезическими и только они. Цилиндрическая поверхность – все прямолинейные образующие (есть и другие геодезические). В любой точке сферы в любом направлении проходит большая окружность

большие окружности и только они являются геодезическими линиями.
Покажем, что если
- гладкая поверхность, то в достаточно малой окрестности точки

можно привести первую квадратичную форму к специальному виду.
Определение. Сеть на поверхности

называется
полугеодезической если она ортогональна и одно ее семейство линий состоит из геодезических.
Пусть

. Проведем через нее линию

. В качестве семейства геодезических возьмем геодезические линии поверхности

ортогональные линии

. В качестве другого семейства возьмем ортогональные траектории первого семейства (в их числе будет и

). Оба эти семейства образуют полугеодезическую сеть. Заметим, что эта сеть определена только в окрестности точки М, так как задается с помощью дифференциальный уравнений (локально).
Пусть на поверхности

- полугеодезическая сеть, причем линии

- геодезические.
Линии

;

.
Из дифференциальных уравнений геодезических получаем

. Мы
доказали, что

.
Кроме того, так как есть ортогональна,

. Так как

.
Итак, для поверхности

получим

. Обозначим

, то есть

. Тогда для полугеодезической сети получим вид первой квадратичной формы

.
Для полугеодезической сети сильно упрощаются выражения для основных величин поверхности.
Например, в полугеодезической сети полная кривизна поверхности вычисляется по формуле

(нужно подставить в теорему Гаусса коэффициенты Кристоффеля из §14).
Пусть даны две точки

на гладкой поверхности

. Обозначим

- множество длин гладких дуг, лежащих на поверхности и имеющих своими концами точки

. Это множество ограничено снизу (например, нулем),
то есть имеет нижнюю грань, которая называется расстоянием между точками

и

на поверхности

.
Пишут
Теорема. Если точки

и

лежат на геодезической линии

поверхности

и расстояние

достаточно мало, то это расстояние есть длина дуги

геодезической линии.
На поверхности

через точку

проведем гладкую кривую

, перпендикулярную геодезической

и построим полугеодезическую координатную сеть.
Пусть точки

и

такие, что они содержатся в окрестности точки

, для которой построена полугеодезическая сеть. Рассмотрим кривую

с концами в точках

и

, лежащую в окрестности точки

и

,

где

и

значения параметров для точек

и

, соответственно.
Если

- длина дуги кривой

, то

Пусть на кривой

(как на одной из

линий) точка

определяется значением

, а точка

значением

. Тогда

.
Вычислим длину дуги линии

(как на одной из

линий) между точками

и

:

.

для любой дуги, соединяющей точки

,

и полностью лежащей в некоторой окрестности этих точек. Итак,

.
§ 18. Дефект геодезического треугольника.
Определение. Пусть на гладкой поверхности

даны

точек

и

гладких кривых

,
попарно соединяющих эти точки, причем эти гладкие кривые не имеют других общих точек кроме точек

. Часть поверхности

, ограниченная дугами

, называется
клеткой.
Объединение этих дуг называется
границей клетки.
Теорема (Гаусса-Бонне). Для клетки

имеет место формула

. Здесь

- геодезическая кривизна линии

,

- полная кривизна поверхности,

- элемент площади поверхности (без доказательства).
Рассмотрим клетку, граница которой состоит из трех геодезических дуг. Такая клетка называется
геодезическим треугольником.
Теорема. Если во всех точках геодезического треугольника полная кривизна

имеет олин и тот же знак ил
и равна нулю, то сумма углов этого треугольника больше

, если

; меньше

, если
и равна нулю, если

.
Так как для геодезической линии

, то по теореме Гаусса-Бонне получим

.

откуда сразу же следует утверждение теоремы.
Число

называется
дефектом геодезического треугольника. Из доказанной теоремы следует, что

.
Примеры.
Пусть
- сфера, ее полная кривизна постоянна и положительна:
. Тогда
, где
- площадь сферического треугольника. Итак,
. Мы видим, что площадь сферического треугольника пропорциональна его дефекту и
.
Пусть
- псевдосфера, ее полная кривизна постоянна и отрицательна:
. Тогда
, где
- площадь псевдосферического треугольника. Итак,
. Мы видим, что площадь псевлосферического треугольника пропорциональна его дефекту и
.
Пусть
- плоскость. Тогда
.