§17. Геодезические линии.

Пусть - гладкая поверхность, кривая называется геодезической, если в каждой ее точке геодезическая кривизна .

, то есть параллельна соприкасающейся плоскости кривой соприкасающейся плоскости кривой . Итак, мы получили критерий геодезической линии

Предложение. Кривая - геодезическая тогда и только тогда, когда в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности.

Пример. Большие окружности сферы являются геодезическими на ней.

Теорема. Пусть - гладкая поверхность. Через любую точку по каждому направлению на поверхности в достаточно малой окрестности проходит единственная геодезическая.

† Пусть . Кривая - геодезическая его координаты равны нулю.


Это дифференциальные уравнения геодезических. Из теории дифференциальных уравнений мы знаем, что при данных начальных условиях , , эта система имеет единственное решение . Геометрический смысл пары чисел - координаты начальной точки геодезической, - направление касательного вектора к геодезической в точке . 

Замечание. Пусть и содержится в некоторой прямой, то в любой точке кривизна этой линии равна нулю, следовательно, , то есть - геодезическая на поверхности .

Следствие. На плоскости все прямые являются геодезическими и только они. Цилиндрическая поверхность – все прямолинейные образующие (есть и другие геодезические). В любой точке сферы в любом направлении проходит большая окружность большие окружности и только они являются геодезическими линиями.


Покажем, что если - гладкая поверхность, то в достаточно малой окрестности точки можно привести первую квадратичную форму к специальному виду.

Определение. Сеть на поверхности называется полугеодезической если она ортогональна и одно ее семейство линий состоит из геодезических.


Пусть . Проведем через нее линию . В качестве семейства геодезических возьмем геодезические линии поверхности ортогональные линии . В качестве другого семейства возьмем ортогональные траектории первого семейства (в их числе будет и ). Оба эти семейства образуют полугеодезическую сеть. Заметим, что эта сеть определена только в окрестности точки М, так как задается с помощью дифференциальный уравнений (локально).

Пусть на поверхности - полугеодезическая сеть, причем линии - геодезические.

Линии ; .

Из дифференциальных уравнений геодезических получаем . Мы доказали, что .

Кроме того, так как есть ортогональна, . Так как .

Итак, для поверхности получим . Обозначим , то есть . Тогда для полугеодезической сети получим вид первой квадратичной формы .

Для полугеодезической сети сильно упрощаются выражения для основных величин поверхности.

Например, в полугеодезической сети полная кривизна поверхности вычисляется по формуле (нужно подставить в теорему Гаусса коэффициенты Кристоффеля из §14).


Пусть даны две точки на гладкой поверхности . Обозначим - множество длин гладких дуг, лежащих на поверхности и имеющих своими концами точки . Это множество ограничено снизу (например, нулем), то есть имеет нижнюю грань, которая называется расстоянием между точками и на поверхности .

Пишут

Теорема. Если точки и лежат на геодезической линии поверхности и расстояние достаточно мало, то это расстояние есть длина дуги геодезической линии.

 На поверхности через точку проведем гладкую кривую , перпендикулярную геодезической и построим полугеодезическую координатную сеть.

Пусть точки и такие, что они содержатся в окрестности точки , для которой построена полугеодезическая сеть. Рассмотрим кривую с концами в точках и , лежащую в окрестности точки и , где и значения параметров для точек и , соответственно.

Если - длина дуги кривой , то




Пусть на кривой (как на одной из линий) точка определяется значением , а точка значением . Тогда .

Вычислим длину дуги линии (как на одной из линий) между точками и : . для любой дуги, соединяющей точки , и полностью лежащей в некоторой окрестности этих точек. Итак, . 


§ 18. Дефект геодезического треугольника.

Определение. Пусть на гладкой поверхности даны точек и гладких кривых , попарно соединяющих эти точки, причем эти гладкие кривые не имеют других общих точек кроме точек . Часть поверхности , ограниченная дугами , называется клеткой.

Объединение этих дуг называется границей клетки.

Теорема (Гаусса-Бонне). Для клетки имеет место формула . Здесь - геодезическая кривизна линии , - полная кривизна поверхности, - элемент площади поверхности (без доказательства).

Рассмотрим клетку, граница которой состоит из трех геодезических дуг. Такая клетка называется геодезическим треугольником.

Теорема. Если во всех точках геодезического треугольника полная кривизна имеет олин и тот же знак или равна нулю, то сумма углов этого треугольника больше , если ; меньше , если и равна нулю, если .

 Так как для геодезической линии , то по теореме Гаусса-Бонне получим .

откуда сразу же следует утверждение теоремы. 


Число называется дефектом геодезического треугольника. Из доказанной теоремы следует, что .

Примеры.

1. 
   Пусть - сфера, ее полная кривизна постоянна и положительна: . Тогда , где - площадь сферического треугольника. Итак, . Мы видим, что площадь сферического треугольника пропорциональна его дефекту и .
   
2. 
   Пусть - псевдосфера, ее полная кривизна постоянна и отрицательна: . Тогда , где - площадь псевдосферического треугольника. Итак, . Мы видим, что площадь псевлосферического треугольника пропорциональна его дефекту и .
   
3. 
   Пусть - плоскость. Тогда .