uzluga.ru
добавить свой файл
1

§10. Линейчатые и развертывающиеся поверхности.

Определение. Поверхность, являющаяся множеством прямых линий, называется линейчатой.

Будем ее строить так. Пусть - гладкая кривая в , заданная векторным уравнением .




Кривая называется направляющей линейчатой поверхности. В каждой точке направляющей зададим единичный вектор . Через каждую точку проведем прямую параллельную вектору в точке . Получим семейство прямых, которые называются образующими линейчатой поверхности. Выбор образующей определяется значением параметра . Точку на образующей будем определять вектором . Так как , . Тогда радиус вектор любой точки, принадлежащей любой образующей задается следующим образом: . Это параметрическое представление линейчатой поверхности.

Изучим координатную сеть линейчатой поверхности. Фиксируем . Меняя , движемся по образующей, то есть линия - образующая. Фиксируя и меняя , мы идем по линии, "параллельной" направляющей, то есть линии суть линии, параллельные направляющей (включая саму направляющую).

Заметим, что направляющая на линейчатой поверхности ничем не выделяется.

Исследуем поведение нормали к линейчатой поверхности.

, .

Пусть точка движется по образующей, то есть фиксировано, меняется. При этом постоянны, так как зависят от и меняется в следствии изменения ..

Выделим два случая:

  1. Общий. . У вектора первое слагаемое постоянно, а второе слагаемое меняется с изменением . Касательная плоскость содержит образующую и поворачивается вокруг нее вместе с вектором . В этом случае линейчатая поверхность называется косой.

  2. Специальный. . Тогда , то есть вектор параллелен постоянному направлению при любом . Значит, касательная плоскость, проходящая через образующую перпендикулярно вектору , не изменяется . Таким образом, касательные плоскости к поверхности в точках, расположенных на одной и той же образующей, совпадают между собой. Такую линейчатую поверхность называют развертывающейся.
    Обратно, если есть развертывающаяся поверхность, то есть касательная плоскость вдоль одной образующей, постоянна, то постоянен не зависит от , то есть .

Итак, линейчатая поверхность является развертывающейся тогда и только тогда, когда .

Запишем критерий развертывающейся поверхности в более удобном виде. Обозначим - компланарны .

Плоскость векторов - это касательная плоскость, так как , проходящая через соответствующую образующую.


Пример. Выведем параметрические уравнения прямого геликоида.

Направляющая – ось где - угол поворота образующей, . Тогда и . Она не является развертывающейся, так как .

Пример. Пусть - гладкая кривая. Рассмотрим линейчатую поверхность, образованную касательными к , где - натуральный параметр. Тогда линейчатая поверхность, образованная касательными к этой кривой имеет уравнение . Проверим, будет ли она развертывающейся: , то есть является развертывающейся.

Отметим, что все развертывающиеся поверхности исчерпываются тремя классами: цилиндрические поверхности, конические поверхности, поверхности касательных к пространственным кривым.